[Toán 9]­BĐT

S

sonhayen

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1, cho 3 số không âm a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: a+2b+c[TEX]\geq [/TEX]4(1-a)(1-b)(1-c)

2, Cho a,b >0. Chứng minh rằng: [TEX]\frac{1}{a^3}+\frac{a^3}{b^3}+b^3\geq \frac{1}{a}+\frac{a}{b}+b [/TEX]
3, chứng minh rằng với mọi số dương a,b,c thì[TEX] \frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) [/TEX]
4, chứng minh rằng: nếu a, b, c> 0 thì [TEX]\frac{x^3}{y^2}+\frac{y^3}{z^2}+\frac{z^3}{x^2}\ge x+y+z[/TEX]

5, cho các số dương a,b,c,d . Chứng minh rằng: [TEX]\frac{a^2}{b^5}+\frac{b^2}{c^5}+ \frac{c^2}{d^5} + \frac{d^2}{a^5} \geq \frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{d^3}[/TEX]

6, cho n số thực [TEX]a_1, a_2,...,a_n[/TEX] thoả mãn [TEX]a_1^2+a_2^2+...+a_n^2=3[/TEX]. Chứng minh rằng:[TEX] \left | \frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{3}+...+\frac{a_n}{n+1} \right |\leq \sqrt{2}[/TEX]
Mấy bài này khó quá em làm mãi không ra mong mọi người giải giùm, càng sớm càng tốt.
~Không dùng quá 3 icon~
Đã sửa
 
Last edited by a moderator:
E

eye_smile

1.Ta có:
$4(1-a)(1-b)(1-c)$ \leq ${(1-a+1-c)^2}.(1-b)={(1+b)^2}(1-b)=(1-{b^2})(1+b)=(1-{b^2})(a+2b+c)$ \leq $a+2b+c$
 
E

eye_smile

2.AD AM-GM, có:
$\dfrac{1}{{a^3}}+1+1$ \geq $\dfrac{3}{a}$
$\dfrac{{a^3}}{{b^3}}+1+1$ \geq $\dfrac{3a}{b}$
${b^3}+1+1$ \geq $3b$
Cộng theo vế, kết hợp với $\dfrac{1}{a}+\dfrac{a}{b}+b$ \geq 3 suy ra đpcm
 
V

vuive_yeudoi

sonhayen said:
6, cho n số thực [TEX]a_1, a_2,...,a_n[/TEX] thoả mãn [TEX]a_1^2+a_2^2+...+a_n^2=3[/TEX]. Chứng minh rằng:[TEX] \left | \frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{3}+...+\frac{a_n}{n+1} \right |\leq \sqrt{2}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Theo Cauchy Schwarz
$$ \left( a_1^2+a_2^2+ \cdots +a_n^2 \right) \cdot \left( \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2} + \cdots +\frac{1}{(n+1)^2} \right) \ge \left( \frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{3}+ \cdots +\frac{a_n}{n+1} \right) ^2 $$
Đưa về chứng minh
$$ \left( a_1^2+a_2^2+ \cdots +a_n^2 \right) \cdot \left( \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2} + \cdots +\frac{1}{(n+1)^2} \right) =3 \cdot \left( \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2} + \cdots +\frac{1}{(n+1)^2} \right) \le 2 $$
Tức là cần chứng minh
$$ \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2} + \cdots +\frac{1}{(n+1)^2} \le \frac{2}{3} \ ; \ n \ \text{nguyên} \ ; \ n \ge 1 $$
Kiểm tra trực tiếp , dễ thấy bất đẳng thức đó đúng khi $ \displaystyle n = 1 \ ; \ 2 \ ; \ 3 $ .

Với $ n \ge 4 $ ta sẽ chứng minh kết quả " mạnh " hơn sau đây bằng quy nạp
$$ \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2} + \cdots +\frac{1}{(n+1)^2} \le \frac{2}{3} -\frac{1}{n+1} $$
Với $ \displaystyle n=4 $ thì điều đó đúng .

Giả sử kết quả " mạnh " hơn đó cũng đúng với $ \displaystyle n=k $
$$ \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2} + \cdots +\frac{1}{(k+1)^2} \le \frac{2}{3} -\frac{1}{k+1} $$
Ta chứng minh nó cũng đúng khi $ \displaystyle n=k+1 $
$$ \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2} + \cdots +\frac{1}{(k+1)^2} +\frac{1}{(k+2)^2} \le \frac{2}{3} -\frac{1}{k+2} $$
Dùng giả thiết quy nạp có
$$ \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2} + \cdots +\frac{1}{(k+1)^2} +\frac{1}{(k+2)^2} \le \frac{2}{3} -\frac{1}{k+1}+\frac{1}{(k+2)^2} $$
Cần chứng minh
$$ \frac{2}{3} -\frac{1}{k+1}+\frac{1}{(k+2)^2} \le \frac{2}{3} -\frac{1}{k+2} $$
Điều đó tương đương với
$$ \frac{1}{k+2} < \frac{1}{1+k} \ \text{ (đúng)} $$
Kết thúc chứng minh .
 
V

vuive_yeudoi

sonhayen said:
5, cho các số dương a,b,c,d . Chứng minh rằng: [TEX]\frac{a^2}{b^5}+\frac{b^2}{c^5}+ \frac{c^2}{d^5} + \frac{d^2}{a^5} \geq \frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{d^3}[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Dùng AM-GM có
$$ 8 \cdot \frac{a^2}{b^5}+20 \cdot \frac{b^2}{c^5}+50 \cdot \frac{c^2}{d^5}+125 \cdot \frac{d^2}{a^5} \ge 203 \cdot \sqrt[203]{\frac{1}{a^{609}}}=\frac{203}{a^3} $$
$$ 8 \cdot \frac{b^2}{c^5}+20 \cdot \frac{c^2}{d^5}+50 \cdot \frac{d^2}{a^5}+125 \cdot \frac{a^2}{b^5} \ge 203 \cdot \sqrt[203]{\frac{1}{b^{609}}}=\frac{203}{b^3} $$
$$ 8 \cdot \frac{c^2}{d^5}+20 \cdot \frac{d^2}{a^5}+50 \cdot \frac{a^2}{b^5}+125 \cdot \frac{b^2}{c^5} \ge 203 \cdot \sqrt[203]{\frac{1}{c^{609}}}=\frac{203}{c^3} $$
$$ 8 \cdot \frac{d^2}{a^5}+20 \cdot \frac{a^2}{b^5}+50 \cdot \frac{b^2}{c^5}+125 \cdot \frac{c^2}{d^5} \ge 203 \cdot \sqrt[203]{\frac{1}{d^{609}}}=\frac{203}{d^3} $$
Cộng vế với vế ta có điều cần chứng minh .
 
E

eye_smile

5.Cách khác
AD AM-GM:
$\dfrac{{a^2}}{{b^5}}+\dfrac{1}{{a^2}b}$ \geq $\dfrac{2}{{b^3}}$
$\dfrac{{b^2}}{{c^5}}+\dfrac{1}{{b^2}c}$ \geq $\dfrac{2}{{c^3}}$
$\dfrac{{c^2}}{{d^5}}+\dfrac{1}{{c^2}d}$ \geq $\dfrac{2}{{d^3}}$
$\dfrac{{d^2}}{{a^5}}+\dfrac{1}{{d^2}a}$ \geq $\dfrac{2}{{d^3}}$

Cộng theo vế, kết hợp với $\dfrac{1}{{a^3}}+\dfrac{1}{{b^3}}+\dfrac{1}{{c^3}}+\dfrac{1}{{d^3}}$ \geq $\dfrac{1}{{a^2}b}+\dfrac{1}{{b^2}c}+\dfrac{1}{{c^2}d}+\dfrac{1}{{d^2}a}$suy ta đpcm
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom