[Toán 9] BĐT

[kimkikum]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho x>= xy + 1. tìm giá trị lớn nhất của biếu thức P = [TEX]\frac{xy}{x^2 + y^2}[/TEX]

 

[vy000]

Với $x=0$ , loại.
Với $y=0$ ; $P=0$ với $x \ge 1$

Với $x \not= 0 ; xy >0 $ ta có: $x \ge xy+1$ \Leftrightarrow $1 \ge y+\dfrac1x \ge 2\sqrt{\dfrac yx}$

\Leftrightarrow $\dfrac14 \ge \dfrac yx$
\Leftrightarrow $\dfrac xy \ge 4$

Ta cần tìm gtnn $\dfrac xy+ \dfrac yx$ , cái này đơn giản rồi , $\dfrac xy+ \dfrac yx \ge \dfrac {17}4$
$\max P =\dfrac 4{17}$

Với $xy <0$ , $P <0$

Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng $\dfrac 4{17}$

 

[1um1nhemtho1]

Cách 2:

3/
TH1: $xy \le 0$
\Rightarrow $P = \frac{3xy}{x^2 + y^2} \le 0$
TH2: $xy > 0$
$x \ge xy + 1 > 1 >0$
$x > 0$ \Rightarrow $y > 0$
áp dụng BĐT Cauchy ta có:
$x^2+4 \ge 4x \ge 4xy+4$
\Rightarrow $x^2 \ge 4xy$
\Leftrightarrow $x \ge 4y$
\Rightarrow $(x-4y)(4x-y) \ge 0$
\Leftrightarrow $x^2+y^2 \ge \frac{17}{4}.xy$
\Rightarrow $P = \frac{xy}{x^2 + y^2} \le \frac{4}{17}$
\Rightarrow $P{max} = \frac{4}{17}$
xảy ra khi $x=2, x=4y$ \Leftrightarrow $x=2; y=\frac{1}{2}$