[Toán 9] BĐT Tam giác

[minhducnguyen_2000@yahoo.com.vn]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho tam giác ABC nằm trong tam giác. Các tia AO, BO, CO, cắt BC, CA, AB tại P, Q, R. Chứng minh: $\sqrt[2]{\frac{OA}{OP}}+\sqrt[2]{\frac{OP}{OQ}}+\sqrt[2]{\frac{OC}{OR}}$ \geq $3\sqrt[2]{2}$
2. Cho tam giác ABC, BC =a, AC=b, AB=c, ( \{A} \geq \{B} \geq \{C} Các đường cao tương ứng $ha,hb,hc$ sao cho $\frac{ha}{hb} + \frac{hb}{hc} + \frac{hc}{ha}$ \geq $\frac{hb}{ha} + \frac{ha}{hc} + \frac{hc}{hb}$
Cm: a \geq b \geq c
Dấu "=" xảy ra...

 

[congchuaanhsang]

1. Cho tam giác ABC nằm trong tam giác. Các tia AO, BO, CO, cắt BC, CA, AB tại P, Q, R. Chứng minh: $\sqrt[2]{\frac{OA}{OP}}+\sqrt[2]{\frac{OP}{OQ}}+\sqrt[2]{\frac{OC}{OR}}$ \geq $3\sqrt[2]{2}$

O nằm trong tam giác đúng không em?

Đặt $S_{OBC}=a^2$ ; $S_{OAC}=b^2$ ; $S_{OAB}=c^2$ ($a,b,c>0$)

Có $\sqrt{\dfrac{OA}{OP}}+\sqrt{\dfrac{OP}{OQ}}+\sqrt{\dfrac{OC}{OR}}$

$=\sqrt{\dfrac{b^2+c^2}{a^2}}+\sqrt{\dfrac{c^2+a^2}{b^2}}+\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{c^2}}$

$=\dfrac{\sqrt{b^2+c^2}}{a}+\dfrac{\sqrt{c^2+a^2}}{b}+\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{c}$

\geq $\dfrac{b+c}{\sqrt{2}a}+\dfrac{c+a}{\sqrt{2}b} + \dfrac{a+b}{\sqrt{2}c}$

(Cauchy-Schwarz)

\Leftrightarrow $\sqrt{\dfrac{OA}{OP}}+\sqrt{\dfrac{OP}{OQ}}+\sqrt{\dfrac{OC}{OR}} \ge \dfrac{1}{\sqrt{2}}[(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a})+(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b})+(\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c})]$

\geq $\dfrac{1}{\sqrt{2}}.6=3\sqrt{2}$ (Cauchy)

 

[hoangtubongdem5]

2. Cho tam giác ABC, BC =a, AC=b, AB=c, ( \{A} \geq \{B} \geq \{C} Các đường cao tương ứng $ha,hb,hc$ sao cho $\frac{ha}{hb} + \frac{hb}{hc} + \frac{hc}{ha}$ \geq $\frac{hb}{ha} + \frac{ha}{hc} + \frac{hc}{hb}$
Cm: a \geq b \geq c
Dấu "=" xảy ra...

Đề kỳ quá bạn ơi