[Toán 9] BĐT $\frac{1}{{x(y + 1)}} + \frac{1}{{y(z + 1)}} + \frac{1}{{z(x + 1)}} \geq 3$

[cr7_pro_238]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

\[\dfrac{1}{{x(y + 1)}} + \dfrac{1}{{y(z + 1)}} + \dfrac{1}{{z(x + 1)}} \geq 3\]
với $xyz = 1$

chú ý cách đặt tiêu đề + latex

 

[harrypham]

Bài toán sai, thử với [TEX]x=y=z=1[/TEX].
...............................................................................

 

[huytrandinh]

bài này phải là
$\dfrac{1}{x(y+1)}+\dfrac{1}{y(z+1)}+\dfrac{1}{z(x+1)}\geq \dfrac{3}{2}$
ta có biến đổi tương đương ta được
$\dfrac{\sum yz(x+1)(z+1)}{xyz(x+1)(y+1)(z+1)}\geq \dfrac{3}{2}$
$<=>2\sum yz(x+1)(z+1)\geq 3.(x+1)(y+1)(z+1)$
$<=>2(yz^{2}+zx^{2}+xy^{2})\geq xy+zx+yz+x+y+z$
$.yz^{2}+xz\geq 2\sqrt{xyz^{3}}=2z$
$=>yz^{2}+zx^{2}+xy^{2}+xy+yz+xz\geq 2(x+y+z)(1)$
$.yz^{2}+y\geq 2\sqrt{(yz)^{2}}=2yz$
$=>yz^{2}+zx^{2}+xy^{2}+x+y+z\geq 2(xy+yz+xz)(2)$
$(1)+(2)$
$<=>2(yz^{2}+zx^{2}+xy^{2})\geq xy+zx+yz+x+y+z$

 

[h0cmai.vn...tru0ng]

Mình thấy các bạn sử dụng bất đẳng thức cô si mà quên mất bài này chưa cho điều kiện x,y,z>0.
Nếu có điều kiện x,y,z>0 thì cách này nhanh hơn chút nè .
Cách này gọn hơn 1 chút nè : Đặt a=1/x , b=1/y , c=1/z , a,b,c>0 và abc=1
$\frac{1}{x(y+1)}+\frac{1}{y(z+1)}+\frac{1}{z(x+1)}$
\Leftrightarrow $\frac{ab}{b+1}+\frac{bc}{c+1}+\frac{ca}{a+1}$
\Leftrightarrow $\frac{1}{bc+1}+\frac{1}{ca+1}+\frac{1}{ab+1}$
Mà $(\frac{1}{bc+1}+\frac{1}{ca+1}+\frac{1}{ab+1})(1+bc+1+ca+1ab)$\geq9
\Leftrightarrow $\frac{1}{bc+1}+\frac{1}{ca+1}+\frac{1}{ab+1}$\geq$9/6$=$3/2$
Hay $\frac{1}{x(y+1)}+\frac{1}{y(z+1)}+\frac{1}{z(x+1)}$\geq$3/2$
P.S @};-