[Toán 9] BĐT(chứa căn)

[trungkien199]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

(29)Các số thực a,b,c thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1.$
Chứng minh rằng $a+b+c\le 2abc+\sqrt{2}$
(30)Cho $a,b,c$ là các số hữu tỉ.
Chứng minh rằng $\sqrt{\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2} }$ là một số hữu tỉ

 

[letsmile519]

Đặt $a-b=x$, $b-c=y$, $c-a=z$

\Rightarrow $x+y+z=0$

Ta có:

$\sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}}$

= $\sqrt{(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2-\frac{2(x+y+z)}{zyx}}$

= $\sqrt{(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^2-\frac{2.0}{zyx}}$

= $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$

\Rightarrow đpcm

 

[thaolovely1412]

đội 4

Bài 29
Ta có:[TEX] a(1-2bc)+1.(b+c) \le \sqrt{[a^2+(b+c)^2][(1-2bc)^2+1]}=\sqrt{2(1+2bc)(1+2b^2c^2-2bc)}[/TEX] (theo BĐT Cauchy-Schwarz)
Mặt khác:
[TEX]\sqrt{2(1+2bc)(1+2b^2c^2-2bc)} \le \sqrt{2} \Leftrightarrow \sqrt{2(1+2bc)(1+2b^2c^2-2bc)} \le VP=\sqrt{2} \Leftrightarrow 2b^2c^2(2bc-1) \le 0[/TEX] (luôn đúng)
Do đó: [TEX]a(1-2bc)+1.(b+c) \le \sqrt{2}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a+b+c\le 2abc+\sqrt{2}[/TEX]
Dấu "=" xảy ra khi [TEX]a=0;b=c=\frac{1}{\sqrt{2}}[/TEX]