[Toán 9]BĐT Cauchy

[happytomorrowww]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho [TEX]a,b,c\epsilon [0;1][/TEX]. CMR:
[TEX]\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{a+c+1}+\frac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)\leq 1[/TEX]

Bài 2: Cho [TEX]a,b,c>0[/TEX] và [TEX]a^2+b^2+c^2=1[/TEX]. CMR:
[TEX]\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{a^2+c^2}+\frac{c}{a^2+b^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}[/TEX]

Bài 3: Tìm GTNN [TEX]f=xyz+2(1+x+y+z+xy+yz+zx)[/TEX]
biết [TEX]x^2+y^2+z^2=1[/TEX]

Bài 4: Tìm GTLN [TEX]p=\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}[/TEX] biết [TEX]xyz=1;x,y,z>0[/TEX]

Bài 5: Tìm GTNN [TEX]f=\frac{x^3}{x^2+xy+y^2}+[/TEX][TEX]\frac{y^3}{y^2+yz+z^2}+\frac{z^3}{z^2+zx+x^2}[/TEX] với [TEX]x,y,z>0[/TEX] và [TEX]x+y+z=9[/TEX]

 

[vivi27597]

bdt cauchy

Làm bài 4 trước:
Ta cần chứng minh: [TEX]x ^3[/TEX]+ [TEX]y^3[/TEX] [TEX]\geq[/TEX] [TEX]x^2y[/TEX]+[TEX]xy^2[/TEX][TEX]\Leftrightarrow[/TEX][TEX](x-y)^2(x+y)[/TEX] (luôn đúng với mọi x, y).Do đó: [TEX]x^3 + y^3 +1 \geq x^2y +xy^2+xyz[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x^3 +y^3+z^3 \geq xy(x+y+z)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{1}{x^3 + y^3 +1} \leq \frac{1}{xy(x+y+z)} = \frac{z}{x+y+z} [/TEX] (1)
Tương tự, ta có: [TEX]\frac{1}{y^3 +z^3 +1}\leq\frac{x}{x+y+z}[/TEX] (2)
[TEX]\frac{1}{z^3+x^3+1} \leq\frac{y}{x+y+z}[/TEX] (3)
Cộng (1), (2), (3) theo vế, ta suy ra điều cần chứng minh.

 

[linhhuyenvuong]

Bài 5: Tìm GTNN [TEX]f=\frac{x^3}{x^2+xy+y^2}+[/TEX][TEX]\frac{y^3}{y^2+yz+z^2}+\frac{z^3}{z^2+zx+x^2}[/TEX] với [TEX]x,y,z>0[/TEX] và [TEX]x+y+z=9[/TEX]

[TEX]f=\frac{x^3}{x^2+xy+y^2}+\frac{y^3}{y^2+yz+z^2}+ \frac{z^3}{z^2+zx+x^2}[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]f=\frac{x^4}{x(x^2+xy+y^2)}+\frac{y^4}{y(y^2+yz+z^3)}+\frac{z^4}{z(z^2+xz+x^2)}[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX]f \geq\frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)}= \frac{x^2+y^2+z^2}{x+y+z} \geq\frac{(x+y+z)^2}{3(x+y+z)}=\frac{x+y+z}{3}=3[/TEX]

 

[bboy114crew]

Bài 1: Cho [TEX]a,b,c\epsilon [0;1][/TEX]. CMR:
[TEX]\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{a+c+1}+\frac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)\leq 1[/TEX]

Bài 2: Cho [TEX]a,b,c>0[/TEX] và [TEX]a^2+b^2+c^2=1[/TEX]. CMR:
[TEX]\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{a^2+c^2}+\frac{c}{a^2+b^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}[/TEX]

Bài 3: Tìm GTNN [TEX]f=xyz+2(1+x+y+z+xy+yz+zx)[/TEX]
biết [TEX]x^2+y^2+z^2=1[/TEX]
/QUOTE]
Bài 1:
Gợi ý : Dùng AM-GM khéo một chút là ra ngay thôi!
Bài 2:
Vẫn dùng AM-GM để chứng minh BDT:
[TEX]\frac{a}{1-a^2} \geq \frac{3\sqrt{3}a^2}{2}[/TEX]'
Làm tương tự rồi cộng lại ta được DPCm!
Bài 3:
Mình nghĩ chắc dùng dồn biến!

 

[happytomorrowww]

Bài 1: Cho [TEX]a,b,c\epsilon [0;1][/TEX]. CMR:
[TEX]\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{a+c+1}+\frac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)\leq 1[/TEX]

Bài 2: Cho [TEX]a,b,c>0[/TEX] và [TEX]a^2+b^2+c^2=1[/TEX]. CMR:
[TEX]\frac{a}{b^2+c^2}+\frac{b}{a^2+c^2}+\frac{c}{a^2+b^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}[/TEX]

Bài 3: Tìm GTNN [TEX]f=xyz+2(1+x+y+z+xy+yz+zx)[/TEX]
biết [TEX]x^2+y^2+z^2=1[/TEX]
/QUOTE]
Bài 1:
Gợi ý : Dùng AM-GM khéo một chút là ra ngay thôi!
Bài 2:
Vẫn dùng AM-GM để chứng minh BDT:
[TEX]\frac{a}{1-a^2} \geq \frac{3\sqrt{3}a^2}{2}[/TEX]'
Làm tương tự rồi cộng lại ta được DPCm!
Bài 3:
Mình nghĩ chắc dùng dồn biến!

Giải thích rõ ràng hơn được ko ạ
Em chẳng hiểu AM-GM là gì hết ạ

 

[vivi27597]

Giải thích rõ ràng hơn được ko ạ
Em chẳng hiểu AM-GM là gì hết ạ

AM-GM là bất đẳng thức Cô-si đó bạn