[Toán 9] BCNN

[khanhtoan_qb]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

đã giải

Có các số nguyên dương [TEX]a_o; a_1; a_2;...; a_n[/TEX] với [TEX]a_0 < a_1 < a_2 < a_3 < ... < a_n[/TEX].
Chứng minh rằng:
[TEX]\frac{1}{[a_0; a_1]} + \frac{1}{[a_1; a_2]} + ... + \frac{1}{[a_{n-1};a_n]}\leq 1 - \frac{1}{2^n}[/TEX]
p/s Giúp càng nhanh càng tốt

 

[hthtb22]

Ta dùng quy nạp Toán học
-Khi n=1 bđt đúng
-Giả sử bđt đúng với n=k
Ta sẽ cm đúng với n=k+1
-Thật vậy:
+Nếu $a_{k+1} \ge 2^{k+1}$
Khi đó $[a_k , a_{k+1}] \ge a_{k+1} \ge 2^{k+1}$
Theo giả thiết quy nạp suy ra:
$A=\frac{1}{[a_0; a_1]} + \frac{1}{[a_1; a_2]} + ... + \frac{1}{[a_{n-1};a_n]}\le (1-\frac{1}{2^k})+\frac{1}{2^{k+1}} =1 - \frac{1}{2^n} $
+ Giả sử: $a_{k+1} < 2^{k+1}$
Ta có:
$\frac{1}{[a,b]}=\frac{(a,b)}{ab} \le \frac{b-a}{ab}=\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$
Do đó:
$A \le (\frac{1}{a_0}-\frac{1}{a_1})+...+(\frac{1}{a_k}-\frac{1}{a_{k+1}})=\frac{1}{a_0}-\frac{1}{a_{k+1}} < 1-\frac{1}{2^{k+1}}$.
Ta có : $\square$