[Toán 9]Bất phương trình (giúp em gấp)

[minsunghyo]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho x,y,z > 0 và xyz [TEX]\leq[/TEX] 1. C/m:

[TEX]\frac1{1 + x^{2}} + \frac1{1 + y^{2}} + \frac1{1 + z^{2}} \leq \frac3{1 + xyz}[/TEX]

2. Cho a,b,c là số đo 3 cạnh tam giác. C/m
a. [TEX]a^{2} + b^{2} + c^{2} < 2(ab + bc + ac)[/TEX]

b. abc [TEX]\geq[/TEX] (a+b-c) (b+c-a) (c+a-b)

c. [TEX]a^{3}(b^{2} - c^{2}) + b^{3}(c^{2} - a^{2}) + c^{3}(a^{2} - b^{2}) < 0 [/TEX] với a < b < c

d. [TEX]\frac{a}{b+c-a} + \frac{b}{a+c-b} + \frac{c}{b+a-c} \geq 3[/TEX]

3. [TEX]\frac12 < \frac1{n+1} + \frac1{n+2} +...+ \frac1{n+n} < \frac34[/TEX]

 

[linhhuyenvuong]

2. Cho a,b,c là số đo 3 cạnh tam giác. C/m
a. [TEX]a^{2} + b^{2} + c^{2} < 2(ab + bc + ac)[/TEX]

b. abc [TEX]\geq[/TEX] (a+b-c) (b+c-a) (c+a-b)

a, [TEX]a< b+c[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]a^2 <ab+ac[/TEX]

tuong tu \Rightarrow [TEX]a^{2} + b^{2} + c^{2} < 2(ab + bc + ac)[/TEX]
b,

[TEX](a+b-c)(b+c-a)=[b+(a-c)][b-(a-c)]=b^2-(a-c)^2 \leq b^2[/TEX]
[TEX](a+b-c)(a+c-b)=[a+(b-c)][a-(b-c)]=a^2-(b-c)^2 \leq a^2[/TEX]
[TEX](a+c-b)(b+c-a)=[c+(a-b)][c-(a-b)]=c^2-(a-b)^2 \leq c^2[/TEX]
\Rightarrowdpcm

 

[khanhtoan_qb]

3. [TEX]\frac12 < A =\frac1{n+1} + \frac1{n+2} +...+ \frac1{n+n} < \frac34[/TEX]

Bài 3 chứng minh bằng qui nạp
Đề phải chứng minh
[TEX]\frac{1}{2} \leq A < \frac{3}{4}[/TEX] với n dương chứ bạn
Chứng minh [TEX]A \geq \frac{1}{2}[/TEX]
Với n = 1 ta có mệnh đề đúng với n = 1
Giả sử mệnh đề đúng với n = k
hay :
[TEX]A_k = \frac{1}{k + 1} + ... + \frac{1}{k + k} \geq \frac{1}{2}[/TEX]
Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1
hay phải c/m :
[TEX]A_{k+ 1} = \frac{1}{k + 1} + ... + \frac{1}{k + k} + \frac{1}{k + k + 1} + \frac{1}{k + 1 + k + 1} \geq \frac{1}{2}[/TEX]
Thật vậy ta có:
[TEX]\frac{1}{k + k + 1} + \frac{1}{k + 1 + k + 1} \geq \frac{1}{k + 1}[/TEX] (xét hiệu là biết liền)
\Rightarrow [TEX]\frac{1}{k + k + 1} + \frac{1}{k + 1 + k + 1} - \frac{1}{k + 1} \geq 0[/TEX]
\Rightarrow [TEX]\frac{1}{k + 1} + ...+ \frac{1}{k + k + 1} + \frac{1}{k + 1 + k + 1} - \frac{1}{k + 1} \geq \frac{1}{2}[/TEX]
\Rightarrow mệnh đề đúng với n = k + 1
\Rightarrow đpcm
Chứng minh [TEX]A < \frac{3}{4}[/TEX] tương tự

 

[linhhuyenvuong]

d. [TEX]\frac{a}{b+c-a} + \frac{b}{a+c-b} + \frac{c}{b+a-c} \geq 3[/TEX]

_______________
đặt [TEX]b+c-a=x[/TEX]
[TEX]a+c-b=y[/TEX]
[TEX]a+b-c=z[/TEX]
\Rightarrow[TEX]a=\frac{y+z}{2}[/TEX]
[TEX]b=\frac{x+z}{2}[/TEX]
[TEX]c= \frac{x+y}{2}[/TEX]

BĐT \Leftrightarrow [TEX]\frac{1}{2} (\frac{y+z}{x} +\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}\geq \frac{1}{2}.6=3[/TEX]