[Toán 9] Bất đẳng thức

[chungthuychung]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn $a \ge b\ge c \ge 1$
Chứng minh

$$\dfrac{1}{1+a^3}+\dfrac{1}{1+b^3}+\dfrac{1}{1+c^3} \ge \dfrac{3}{1+abc}$$

 

[hien_vuthithanh]

Ta có BĐT quen với $a ,b \ge 1$:$$\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\ge \dfrac{2}{1+ab}$$
Quy đồng được :$$\iff (ab-1)(a-b)^2 \ge 0 (LĐ)$$
Với $ d \ge 1$ ta có $\dfrac{1}{1+a^3}+\dfrac{1}{1+b^3}+\dfrac{1}{1+c^3}+\dfrac{1}{1+d^3}\ge \dfrac{2}{1+\sqrt{a^3b^3}}+\dfrac{2}{1+\sqrt{c^3d^3}}=2(\dfrac{1}{1+\sqrt{a^3b^3}}\dfrac{1}{1+\sqrt{c^3d^3}})\ge 2.\dfrac{2}{1+\sqrt[4]{a^3b^3c^3d^3}}=\dfrac{4}{1+\sqrt[4]{a^3b^3c^3d^3}}$

Chọn $d=\sqrt[3]{a^2b^3d^3}=abc$. Khi đó :

$$\dfrac{1}{1+a^3}+\dfrac{1}{1+b^3}+\dfrac{1}{1+c^3}+\dfrac{1}{1+abc}\ge \dfrac{4}{1+\sqrt[4]{a^4b^4c^4}}=\dfrac{4}{1+abc}$$

$$\iff \dfrac{1}{1+a^3}+\dfrac{1}{1+b^3}+\dfrac{1}{1+c^3}\ge \dfrac{3}{1+abc}$$