[toán 9 ] bất đẳng thức

[giotnuocnghiluc]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho n là số nguyên dương
chứng minh $\frac {1}{3}+\frac {2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+......+\frac{n}{3^n}<\frac{3}{4}$
giúp mình nhé dễ hiểu 1 chút

 

[leminhnghia1]

Giải:

Đặt [TEX]A= \ \frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+...+\frac{n}{3^n}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \ 3A= \ 1+\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}+..+\frac{n}{3^{n-1}}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \ 3A-A=2A= \ 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+...+ \ \frac{1}{3^{n-1}}-\frac{n}{3^n}[/TEX]

Đặt [TEX]B= \ 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+...+ \ \frac{1}{3^{n-1}}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \ 3B= \ 4+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}++...+ \ \frac{1}{3^{n-2}}[/TEX]

[TEX]3B-B=2B= \ 3-\frac{1}{3^{n-1}} \ < \ 3[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \ B \ < \ \frac{3}{2}[/TEX]

Lại có: [TEX]2A= \ B-\frac{n}{3^n} \ < \ B \ < \ \frac{3}{2}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \ A \ < \ \frac{3}{4}[/TEX] ( đpcm)