[Toán 9] Bất đẳng thức

[dungngocngaminh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.Cho $a;b;c >0$. CMR:

$$\dfrac{a^3}{a^2+b^2+ab}+\dfrac{b^3}{b^2+c^2+bc}+\dfrac{c^3}{c^2+a^2+ca} \ge \dfrac{a+b+c}{3}$$

2.cho $abc>0$. CMR:

$$\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a} \ge ab+bc+ac$$

Học cách gõ công thức tại đây

 

[lp_qt]

Câu 1

Tham khảo tại đây

Xem lại đề câu 2 nhé! $abc >0$ hay $a;b;c >0$

 

[phamhuy20011801]

2, Chắc $a,b,c > 0$
Trước hết cần chứng minh: $\dfrac{a^3}{b} \ge a^2-ab+b^2$, BĐT tương đương
$\dfrac{a^3}{b} \ge \dfrac{a^2b+ab^2+b^3}{b}$
$\leftrightarrow (a-b)^2(a+b) \ge 0$, luôn đúng. ($a,b >o$)
Tương tự vậy:
$\dfrac{b^3}{c} \ge b^2+bc-c^2$
$\dfrac{c^3}{a} \ge c^2+ac-a^2$
Cộng theo vế $\rightarrow$ đpcm.
Dấu "=" xảy ra $\leftrightarrow$ a=b=c.

 

[soccan]

$2)\\
VT=\sum\dfrac{a^4}{ab} \ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ca} \ge a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca$

 

[transformers123]

2, Chắc $a,b,c > 0$
Trước hết cần chứng minh: $\dfrac{a^3}{b} \ge a^2-ab+b^2$, BĐT tương đương
$\dfrac{a^3}{b}=\dfrac{a^2b+ab^2+b^3}{b}$
$\leftrightarrow (a-b)^2(a+b) \ge 0$, luôn đúng. ($a,b >o$)
Tương tự vậy:
$\dfrac{b^3}{c} \ge b^2+bc-c^2$
$\dfrac{c^3}{a} \ge c^2+ac-a^2$
Cộng theo vế $\rightarrow$ đpcm.
Dấu "=" xảy ra $\leftrightarrow$ a=b=c.

$2)\\
VT=\sum\dfrac{a^4}{ab} \ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ca} \ge a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca$

Cùng chung một điểm: $a, b$ cùng âm và $c$ dương thì mấy cái bất đẳng trên sai =))

 

[soccan]

Cùng chung một điểm: $a, b$ cùng âm và $c$ dương thì mấy cái bất đẳng trên sai =))

điều kiện bạn chủ pic ghi nhầm )
đây là đang chứng minh với $a,b,c>0$, nếu bác không hài lòng thì có thể chứng minh lại bài khác.