[Toán 9] Bất đẳng thức

[letruong1012]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x,y là 2 số dương thỏa mãn x+y=1. Tìm GTNN của biểu thức:
A= [TEX](x +\frac{1}x}^2 + (y+\frac{1}{y})^2[/TEX]

 

[transformers123]

Ta có: $x+y \ge 2\sqrt{xy}$

$\Longrightarrow 1 \ge 2\sqrt{xy}$

$\iff xy \le \dfrac{1}{4}$

Ta có: $A=(x+\dfrac{1}{x})^2+(y+\dfrac{1}{y})^2$

$\iff A=x^2+2+\dfrac{1}{x^2}+y^2+2+\dfrac{1}{y^2}$

$\iff A=x^2+y^2+\dfrac{x^2+y^2}{x^2y^2}+4$

$\iff A =(x^2+y^2)(1+\dfrac{1}{x^2y^2})+4$

$\iff A =[(x+y)^2-2xy](1+\dfrac{1}{x^2y^2})+4$

$\iff A \ge (1-2.\dfrac{1}{4})(1+\dfrac{1}{(\dfrac{1}{4})^2})+4$

$\iff A \ge \dfrac{25}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=\dfrac{1}{2}$

 

[lp_qt]

Cho x,y là 2 số dương thỏa mãn $x+y=1$.

Tìm GTNN của biểu thức: $A= (x +\dfrac{1}{x})^2 + (y+\dfrac{1}{y})^2$

$A= \left ( x +\dfrac{1}{x} \right )^2 + \left ( y+\dfrac{1}{y} \right )^2 \ge \dfrac{\left ( x+\dfrac{1}{x}+y+\dfrac{1}{y} \right )^2}{2} \ge \dfrac{\left ( x+y+\dfrac{4}{x+y} \right )^2}{2} =... $

 

[obama1234]

bước 1 cm : xy \geq $\frac{1}{4}$
bước 2 dùng cô si vào phương trình A
ta được A \geq 2 $(x+ \frac{1}{x})(y+\frac{1}{y})$
\Leftrightarrow A \geq 2 $\frac{x^2y^2-2xy+2}{xy}$
\Leftrightarrow A \geq 2 $\frac{(xy-1)^2+1}{xy}$
thay xy bằng $\frac{1}{4}$
ta được A \geq $\frac{25}{2}$