[toán 9] Bất đẳng thức

[huan2122000]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $-1 \le x, y, z \le 3$ và $x+y+z =3$. Chứng minh $x^2 +y^2 +z^2 \le 11$

 

[lp_qt]

$-1 \le a;b;c \le 3$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}(a+1)(b+1)(c+1) \ge 0 & \\ (a-3)(b-3)(c-3) \le 0 &
\end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}abc+(ab+bc+ac)+(a+b+c)+1 \ge 0 & \\ abc +9(a+b+c)-3(ab+bc+ac)-27 \le 0 & \end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}abc+(ab+bc+ac)+ 3 +1 \ge 0 & \\ -abc + 3(ab+bc+ac)+27 -9.3 \ge 0 & \end{matrix}\right.$

\Rightarrow $4(ab+bc+ac) +4 \ge 0$

\Leftrightarrow $ab+bc+ac \ge -1$

$(a+b+c)^2=(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ac)$

\Rightarrow $a^2+b^2+c^2=9-2(ab+bc+ac) \le 9-2.(-1)=11$

dấu= xảy ra khi có 1 số bằng -1; 1 số bằng 3; 1 số bằng 1.

 

[eye_smile]

$(x+1)(y+1)(z+1) \ge 0$

\Leftrightarrow $xyz+xz+yz+xy+x+y+z+1 \ge 0$

\Leftrightarrow $xyz+xy+yz+zx+4 \ge 0$

$(x-3)(y-3)(z-3) \le 0$

\Leftrightarrow $xyz-3(xy+yz+zx)+9(x+y+z)-27 \le 0$

\Leftrightarrow $xyz \le 3(xy+yz+zx)$

\Rightarrow $xy+yz+zx \ge -1$

$x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)=9-2(xy+yz+zx) \le 11$