[toán 9] bất đẳng thức

[howare]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1, cho x,y,z>0 tìm GTNN của:
P= $ x(\frac{x}{2} + \frac{1}{yz}) $ + $ y(\frac{y}{2}+\frac{1}{zx}) $ + $ z(\frac{z}{2}+ \frac{1}{xy}) $
2, cho x,y khác 0 thỏa mãn (x+y)xy=$ x^{2} $ - xy + $ y^{2} $
tìm GTNN của: P=$ \frac{1}{x^{3}} $ + $ \frac{1}{y^{3}} $
3, cho x,y>1 và x+y\geq4
tìm GTNN của P=$ \frac{x^{4}}{(y-1)^{3}} $ + $ \frac{y^{4}}{(x-1)^{3}} $

 

[hocsinhchankinh]

2, cho x,y khác 0 thỏa mãn (x+y)xy=$ x^{2} $ - xy + $ y^{2} $
tìm GTNN của: P=$ \frac{1}{x^{3}} $ + $ \frac{1}{y^{3}} $

\Leftrightarrow $(x+y)^2xy=(x+y)(x^2-xy+y^2)$
\Leftrightarrow$(x+y)^2xy=x^3+y^3$
\Leftrightarrow$\frac{(x+y)^2}{x^2y^2}=\frac{x^3+y^3}{x^3y^3}$
\Leftrightarrow$\frac{(x+y)^2}{x^2y^2}=\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}$
Vì $\frac{(x+y)^2}{x^2y^2}$\geq0 (\forall x,y[TEX]\neq[/TEX] 0)
"=" xảy ra :
\Leftrightarrowx+y=0
\Leftrightarrowx=-y
Vậy tại x=-y thì minP=0
_________________________________________________________________________
Đúng thì nhấn cảm ơn giùm mình nha

 

[hien_vuthithanh]

1, cho x,y,z>0 tìm GTNN của:
P= $ x(\dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{yz}) $ + $ y(\dfrac{y}{2}+\dfrac{1}{zx}) $ + $ z(\dfrac{z}{2}+ \dfrac{1}{xy}) $

$$P=\dfrac{1}{2}\sum x^2+\sum \dfrac{x}{yz}$$

Ta có : $$\dfrac{x}{yz}+\dfrac{y}{zx}\ge 2.\dfrac{1}{z}$$

TT $$\rightarrow \sum \dfrac{x}{yz}\ge \sum \dfrac{1}{x}$$

$$\rightarrow P\ge \dfrac{1}{2}\sum x^2+\sum \dfrac{1}{x}\ge \dfrac{1}{6}(\sum x)^2+\dfrac{9}{\sum x}=\dfrac{1}{6}(\sum x)^2+\dfrac{9}{2\sum x}+ \dfrac{9}{2\sum x}\ge \dfrac{9}{4}$$

Dấu = tại $x=y=z$