[toán 9] bất đẳng thức

[howare]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1,cho 0 \leq x \leq 3 và 0 \leq y \leq 4
tìm giá trị lớn nhất của: P=(3-x)(4-y)(2x+3y)
2,cho a\geq3, b\geq4, c\geq2
tìm giá trị lớn nhất: P=$ \frac{ab\sqrt[2]{c-2} + bc\sqrt[2]{a-3} + ca\sqrt[2]{b-4}}{abc} $
3, cho x,y,z,t sao cho $ x^{2} $ + $ y^{2} $ + $ z^{2} $ + $ t^{2} $ \leq 1
Tìm giá trị lớn nhất của: P=$ (x+y)^{4} $ + $ (x+z)^{4} $ + $ (x+t)^{4} $ + $ (y+z)^{4} $ + $ (y+t)^4 $ + $ (z+t)^4 $
4, cho 0 \leq x,y,z \leq 2 và x+y+z=3
tìm giá trị lớn nhất của P=$ x^{2} $ + $ y^{2} $ + $ z^{2} $
5, chứng minh rằng: $ \frac{a}{b+c} $ + $ \frac{b}{c+a} $ + $ \frac{c}{a+b} $ \geq $ \frac{3}{2} $ với a,b,c>0 (chứng minh bằng bất đẳng thức bunhiacopski)
6, cho x,y,z>0 và $ \frac{1}{x} $ + $ \frac{1}{y} $ + $ \frac{1}{z} $ = 4
tìm giá trị lớn nhất của:
P=$ \frac{1}{2x+y+z} $ + $ \frac{1}{x+2y+z} $ + $ \frac{1}{x+y+2z} $

 

[eye_smile]

1,cho 0 \leq x \leq 3 và 0 \leq y \leq 4
tìm giá trị lớn nhất của: P=(3-x)(4-y)(2x+3y)

1,$P=\dfrac{1}{6}.(6-2x)(12-3y)(2x+3y) \le \dfrac{1}{6}.(\dfrac{6-2x+12-3y+2x+3y}{3})^3=\dfrac{1}{6}.6^3=6^2=36$

Dấu = xảy ra \Leftrightarrow $6-2x=12-3y=2x+3y$

\Leftrightarrow $x=0;y=2$

 

[thanhlan9]

Bài 1
Ta có [TEX]P=1/6.(6-2x).(12-3y).(2x+3y) \leq 1/6.\frac{(6-2x+12-3y+2x+3y)^3}{27} =36[/TEX]
Dấu = xảy ra khi 6-2x=12-3y=2x+3y [TEX]\Leftrightarrow[/TEX] x=0, y=2

Bài 2
Ta có [TEX]P=\frac{\sqrt[2]{c-2}}{c}+\frac{\sqrt[2]{a-3}}{a}+\frac{\sqrt[2]{b-4}}{b}[/TEX]
Áp dụng bdt Cô-si ta đc [TEX]\sqrt[2]{2.(c-2)} \leq c/2 \Rightarrow \sqrt[2]{c-2} \leq \frac{1}{2\sqrt[2]{2}}[/TEX]
Tương tự ta đc [TEX]P \leq \frac{2}{2\sqrt[2]{2}}+\frac{1}{2\sqrt[2]{3}}+\frac{1}{4}[/TEX]
Dấu = xảy ra khi a=6, b=8, c=4

 

[eye_smile]

2.

$P=\dfrac{\sqrt{c-2}}{c}+\dfrac{\sqrt{a-3}}{a}+\dfrac{\sqrt{b-4}}{b}$

Có:

$c=c-2+2 \ge 2\sqrt{2(c-2)}$

\Leftrightarrow $\dfrac{\sqrt{c-2}}{c} \le \dfrac{1}{2\sqrt{2}}$

$a=a-3+3 \ge 2\sqrt{3(a-3)}$

\Leftrightarrow $\dfrac{\sqrt{a-3}}{a} \le \dfrac{1}{2\sqrt{3}}$

$b=b-4+4 \ge 2\sqrt{4(b-4)}=4\sqrt{b-4}$

\Leftrightarrow $\dfrac{\sqrt{b-4}}{b} \le \dfrac{1}{4}$

\Rightarrow $P \le \dfrac{1}{2\sqrt{2}}+\dfrac{1}{2\sqrt{3}}+\dfrac{1}{4}$

Dấu = xảy ra \Leftrightarrow $c=4;a=6;b=8$

 

[thanhlan9]

Bài 5
Áp dụng bdt Bunhia
[TEX](\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}).(a(a+b)+b(b+c)+c(c+a)) \geq (a+b+c)^2 \Rightarrow \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq \frac{(a+b+c) ^2}{2(ab+bc+ca)}[/TEX]
Ta lại có [TEX](a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ca) \Rightarrow dpcm[/TEX]

 

[eye_smile]

4, cho 0 \leq x,y,z \leq 2 và x+y+z=3
tìm giá trị lớn nhất của P=$ x^{2} $ + $ y^{2} $ + $ z^{2} $

4,Ta có:

$P=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)=9-2(xy+yz+zx)$

Có:

$(x-2)(y-2)(z-2) \le 0$

\Leftrightarrow $xyz-2(xy+yz+zx)+4(x+y+z)-8 \le 0$

\Leftrightarrow $2(xy+yz+zx) \ge xyz+4(x+y+z)-8=xyz+4 \ge 4$

\Rightarrow $P \le 5$

Dấu = xảy ra khi x;y;z là bộ ba số 0;1;2

 

[thanhlan9]

Bài 6
Ta áp dụng bdt [TEX]\frac{1}{a+b} \leq \frac{1}{4}.(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})[/TEX]
Ta có [TEX]P=\frac{1}{(x+y)+(x+z)}+\frac{1}{(x+y)+(y+z)}+\frac{1}{(x+z)+(y+z)} \leq 1/2.(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}) \leq 1/4.(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=1[/TEX]
Dấu = xảy ra khi x=y=z=3/4

 

[eye_smile]

6,

$\dfrac{1}{2x+y+z} \le \dfrac{1}{16}(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})$

$\dfrac{1}{x+2y+z} \le \dfrac{1}{16}(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{1}{z})$

$\dfrac{1}{x+y+2z} \le \dfrac{1}{16}(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{2}{z})$

Cộng theo vế \Rightarrow $P \le \dfrac{1}{16}.4(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})=1$

Dấu = xảy ra \Leftrightarrow $x=y=z=3/4$

 

[hien_vuthithanh]

6, cho x,y,z>0 và $ \dfrac{1}{x} $ + $ \dfrac{1}{y} $ + $ \dfrac{1}{z} $ = 4
tìm giá trị lớn nhất của:
P=$ \dfrac{1}{2x+y+z} $ + $ \dfrac{1}{x+2y+z} $ + $ \dfrac{1}{x+y+2z} $

Có : P=$ \dfrac{1}{2x+y+z} $ + $ \dfrac{1}{x+2y+z} $ + $ \dfrac{1}{x+y+2z} $

$=\dfrac{1}{16}[\dfrac{16}{x+x+y+z}+\dfrac{16}{x+y+y+z}+\dfrac{16}{x+y+z+z}]$

$\le \dfrac{1}{16}.4[\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}]=\dfrac{1}{16}.4.4=1$

$\rightarrow P \le 1$