[toán 9] bất đẳng thức

[howare]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1,cho a,b,c>0 chứng minh rằng:
$\frac{a^{8}+b^{8}+c^{8}}{a^{3}b^{3}c^{3}} \ge \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$
2,cho m,n là số nguyên dương, a+b\geq0 chứng minh rằng:
$\frac{a^{m}+b^{m}}{2}.\frac{a^{n}+b^{n}}{2}<\frac{a^{m+n}+b^{m+n}}{2}$
3,cho x,y,z>0 tìm giá trị lớn nhất của: $P=\frac{xyz}{(x+y)(y+z)(z+x)}$
4,cho x,y,z>0 và $x^{2} + y^{2} +z^{2} \le 3$
tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+yz}+\frac{1}{1+zx}$

Chú ý cách gõ latex
Đã sửa

 

[tienqm123]

3, Theo BĐT AM-GM ta có:
$a+b \ge 2\sqrt{ab}$ ; $b+c \ge 2\sqrt{bc}$ ; $c+a \ge 2\sqrt{ca}$
\Rightarrow $ (a+b)(b+c)(c+a) \ge 8abc $
\Rightarrow $ P = \dfrac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \le \dfrac{1}{8} $

 

[tienqm123]

4. Ta có $ab + bc + ca \le a^2 + b^2 + c^2 \le 3 $
Áp dụng hệ quả của BĐT Schwarz . Ta có :
$P = \dfrac{1}{1+xy} + \dfrac{1}{1+yz} + \dfrac{1}{1+zx}$
\Rightarrow $ P \ge \dfrac{(1+1+1)^2}{1+1+1+xy+yz+zx} \ge \dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2} $
Dấu = xảy ra \Leftrightarrow x=y=z=1

 

[tienqm123]

1. Áp dụng BĐT AM-GM . Ta có :
$a^8+a^8+a^8+b^8+b^8+b^8+c^8+c^8 \ge 8a^3.b^3.c^2$
Tương tự ta có : $2a^8+3b^8+3c^8 \ge 8a^2.b^3.c^3$
$3a^8+ 2b^8+3c^8 \ge 8a^3b^2c^3$
Do đó $8(a^8+b^8+c^8) \ge 8(a^3b^3c^2+a^2b^3c^3+a^3b^2c^3)$
\Rightarrow $a^8 + b^8 + c^8 \ge a^3b^3c^2+a^2b^3c^3+a^3b^2c^3$
\Rightarrow $\dfrac{a^8+b^8+c^8}{a^2b^2c^2} \ge ab + bc + ca$
\Rightarrow $\dfrac{a^8+b^8+c^8}{a^3b^3c^3} \ge \dfrac{ab+bc+ca}{abc}=\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}$ (ĐPCM)