[toán 9] bất đẳng thức

[princess2000]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho [TEX]0 \leq a;b;c \leq 2[/TEX] và [TEX]a+b+c=3[/TEX]. C/m [TEX]a^3+b^3+c^3 \leq 9[/TEX]
2. a;b không âm thỏa mãn [TEX]a+b \leq 2[/TEX]. C/m [TEX]\frac{2+a}{1+a}+\frac{1-2b}{1+2b} \geq \frac{8}{7}[/TEX]
3. Cho a,b dương thỏa mãn [TEX] \sqrt{a}+\sqrt{b} \geq 2[/TEX]. C/m [TEX]\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3} \geq a+b[/TEX]

 

[eye_smile]

2,Ta có:

$\dfrac{2+a}{1+a}+\dfrac{1-2b}{1+2b}=1+\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{2}{1+2b}-1=\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{2}{1+2b} = \dfrac{1}{2(1+a)}+\dfrac{1}{2(1+a)}+\dfrac{1}{1+2b}+\dfrac{1}{1+2b} \ge \dfrac{16}{6+4(a+b)} \ge \dfrac{16}{6+4.2}=\dfrac{8}{7}$

 

[eye_smile]

3,Đặt $\sqrt{a}=x;\sqrt{b}=y$

Ta có: $x+y \ge 2$

Xét $2(x^3+y^3)-(x+y)(x^2+y^2)=(x+y)(x-y)^2 \ge 0$

\Rightarrow $(x+y)(x^2+y^2) \le 2(x^3+y^3) \le (x+y)(x^3+y^3)$

\Rightarrow $x^2+y^2 \le x^3+y^3$ (đpcm)

 

[eye_smile]

1,Gỉa sử $a \ge b \ge c$

\Rightarrow $1 \le a \le 2$

$b^3+c^3=(b+c)^3-3bc(b+c) \le (b+c)^3=(3-a)^3$

Cần cm $a^3+(3-a)^3 \le 9$

\Leftrightarrow $(a-1)(a-2) \le 0$ (lđ)

\Rightarrow đpcm