[toán 9]Bất đẳng thức

[soccan]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh bất đẳng thức sau :
$ 1\le \sqrt[n]{n} <2 $ với mọi $n$ thỏa mãn thuộc $N^*$

 

[huynhbachkhoa23]

Cách 1:

Cần chứng minh: $1\le n < 2^{n}$ với $n\in\mathbb{N}^{*}$

BDT bên trái hiển nhiên đúng.

BDT bên phải:

Với $n=1$ thì BDT đúng.

Giả sử BDT đúng với $n=k\;\;(k \in\mathbb{N}^{*})$

Với $n=k+1$:

$k<2^{k}\leftrightarrow 2^{k+1}>k+k \ge k+1$

Vậy BDT đúng với $n=k+1$ nên theo nguyên lý quy nạp BDT đúng với mọi $n$ nguyên dương.

Cách 2: $f(x)=2^x-x$ với $x \ge 1$

$f'(x)=2^x.\ln 2 - 1 $

$f''(x)=2^{x}.\ln^2 2> 0$

$\to f'(x) \ge f'(1)=\ln 4 - 1>\ln e -1 > 0 $

$\to f(x)\ge f(1)=1 > 0$

 

[transformers123]

C/m $\sqrt[n]{n} < 2$
Áp dụng bđt Cauchy, ta có
$\sqrt[n]{n}=\dfrac{n\sqrt[n]{n}}{n} \le \dfrac{n+1+1 +...+1+1}{n} = \dfrac{2n-1}{n} < \dfrac{2n}{n} = 2$

 

[huynhbachkhoa23]

Chơi tới cùng =))

Áp dụng BDT Bernoulli: $2^n=(1+1)^n \ge 1+n > n$