[Toán 9] Bất đẳng thức

[lebalinhpa1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1/ Cho x,y,z là các số đôi một khác nhau thỏa hệ thức
(z+x)(z+y) = 1 . Tìm GTNN của biểu thức
A= $\frac{1}{(x-y)^2}$ + $\frac{1}{(z+x)^2}$ + $\frac{1}{(z+y)^2}$

2/ Cho a,b,c là các số thực dương thỏa $b^2$ + $c^2$ \leq $a^2$. Tìm GTNN của biểu thức

P= $\frac{1}{a^2}$ ($b^2$ + c^2$ ) + $a^2$ ( $$\frac{1}{b^2}$ + $\frac{1}{c^2}$)




3/ Cho các số thực x,y thỏa $\sqrt{x+2}$ -$y^3$ = $\sqrt{y+2}$ - $x^3$ . Tìm GTNN của biểu thức

B= $x^2$ - $2y^2$ + 2xy + 2y + 10

4/ Cho x,y > 1 . Tìm GTNN của biểu thức

B= $\frac{(x^3 + y^3)-(x^2 +y^2 }{(x-1 ) ( y - 1)}$

5/ Cho x \geq $\frac{1}{2}$. Tìm GTLN của biểu thức

y= $\sqrt{2x^2 + 5x + 2}$ + 2($\sqrt{x+3}$ ) - 2x

6/

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 3:

Xét hàm số đặc trưng $f(t)=t^3+\sqrt{t+3}$

$t_1> t_2$

$f(t_1)-f(t_2)=(t_1^3-t_2^3)+(\sqrt{t_1+3}-\sqrt{t_2+3})>0$

Suy ra $f(x)=f(y) \leftrightarrow x=y$

Thế vào.

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 4:

Đặt $t=x+y>2$

$B=\dfrac{x^2}{y-1}+\dfrac{y^2}{x-1} \ge \dfrac{(x+y)^2}{(x+y)-2}=\dfrac{t^2}{t-2}=m>0$

$t^2-tm+2m=0$

$\Delta = m^2-8m \ge 0 \leftrightarrow m\ge 8$

$\text{minB=8} \leftrightarrow x=y=2$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 2:

Đặt $x=\dfrac{a^2}{b^2}; y=\dfrac{a^2}{c^2}$

Chia giả thiết cho $a^2$: $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} \le 1 \rightarrow x+y \ge 4$

$P=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+x+y$

Xét hàm số $f(t)=t+\dfrac{1}{t}$

Dễ chứng minh $f(t) \ge \dfrac{3}{2}x+1$

Áp dụng vào $P=f(x)+f(y) \ge \dfrac{3}{4}(x+y)+2 \ge 5$

Đẳng thức xảy ra khi $b=c=\dfrac{a}{\sqrt{2}}$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1:

Đặt $z+x=u; z+y=v$

Theo bài ra $uv=1$

$A-4=\dfrac{1}{(u-\dfrac{1}{u})^2}+u^2+\dfrac{1}{u^2}-4$

$=\dfrac{u^4+u^4(u^2-1)^2+(u^2-1)^2}{u^2(u^2-1)^2}-4$

$=\dfrac{u^8-6u^6+11u^4-6u^2+1}{u^2(u^2-1)^2}$

$f(t)=t^4-6t^3+11t^2-6t+1$

$f'(t)=4t^3-18t^2+22t-6=0 \leftrightarrow t=\dfrac{3\pm \sqrt{5}}{2}; t=\dfrac{3}{2}$

Thế các giá trị vào được.

$A\ge 4$

Đẳng thức xảy ra $|u|=\dfrac{\pm \sqrt{5} -1}{2}; v=...$

 

[eye_smile]

2,$P \ge \dfrac{b^2+c^2}{a^2}+\dfrac{4a^2}{b^2+c^2} \ge 4$

Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $b=c=\dfrac{a}{\sqrt{2}}$

 

[eye_smile]

5,$y=\sqrt{(x+2)(2x+1)}+2\sqrt{x+3}-2x \le \dfrac{x+2+2x+1+4\sqrt{x+3}-4x}{2}=\dfrac{10-(\sqrt{x+3}-2)^2}{2} \le 5$

Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $x=1$