[Toán 9] Bất đẳng thức

[minhducnguyen_2000@yahoo.com.vn]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho a, b, c > 0. t/m: $\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{a+c+1}$ \geq 1
Cm: a+b+c\geq ab+ac+bc
2. Cho a, b, c > 0. Cm:
a. $\frac{a^3}{b+c} + \frac{b^3}{a+c}$ + $\frac{c^3}{a+b}$ \geq $\frac{a^2+b^2+c^2}{2}$
b. $\frac{a^4}{b+c} + \frac{b^4}{a+c}$ + $\frac{c^4}{a+b}$ \geq $\frac{a^3+b^3+c^3}{2}$
3. Cho a, b, c > 0.
Cm: $\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}$ \geqa $\sqrt[2]{ac}+b\sqrt[2]{ab}+c\sqrt[2]{bc}$
4. Cm rằng:
a. Nếu 1\leq a \leq 5 thì $3\sqrt[2]{a-1}+4\sqrt[2]{5-a}$ \leq 10
b. Nếu 0 \leq a+1 ; 0 \leq b+1 ; a+b=2 thì $\sqrt[2]{a+1} + \sqrt[2]{b+1}$ \leq $2\sqrt[2]{2}$
5. Cho xy+yz+xz=1 Cm:
$x^4 + y^4 + z^4$ \leq $\frac{1}{3}$
6. Cho a, b, c > 0 thoả mãn a+b+c=1
Cm: $(\frac{1}{a}-1)(\frac{1}{b}-1)(\frac{1}{c}-1)$\leq 8

@hoangtubongdem5: Chú ý tiêu đề : [Toán 9] + Tiêu đề
~> Lần này mình nhắc nhở và sửa giúp, còn lần sau sẽ xóa

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 2:

a) $VT=\sum \dfrac{a^4}{ab+bc} \ge \dfrac{(\sum a^2)^2}{2\sum ab} \ge \dfrac{\sum a^2}{2}=VP$

b) $VT = \sum \dfrac{a^6}{a^2b+a^2c} \ge \dfrac{(\sum a^3)^2}{\sum a^2b+\sum ab^2}$

Giả sử $a\ge b\ge c \rightarrow a^2\ge b^2\ge c^2$

Hoán vị vòng: $a^3+b^3+c^3 \ge a^2b+b^2c+c^2a$ và $a^3+b^3+c^3 \ge ab^2+bc^2+ca^2$

Thế vào là có ngay điều cần chứng minh.

Bài 4:

a) Bình phương 2 vế: $24\sqrt{-x^2+6x-5}\le 7x+29$

Bình phương tiếp: $576(-x^2+6x-5) \le 49x^2+406x+841$

$\leftrightarrow 625x^2-3050x+3721=625(x-\dfrac{61}{25})^2 \ge 0$ (đúng)

b) Theo Cauchy-Schwarz:

$VT \le \sqrt{2(a+b+2)}=2\sqrt{2}$

 

[transformers123]

bài 3:
đề sai phải là $\dfrac{c^3}{a}$ chứ
ta có:
$VP \le \dfrac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca}{2} \le \dfrac{2(a^2+b^2+c^2)}{2}=a^2+b^2+c^2$
ta cần chứng minh $VT \ge a^2+b^2+c^2$
$VT = \dfrac{a^4}{b^2}+\dfrac{b^4}{c^2}+\dfrac{c^4}{a^2} \ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2+b^2+c^2}=a^2+b^2+c^2$
$\Longrightarrow \mathfrak{dpcm}$

@hoangtubongdem : Đã đọc kỹ và chấp nhận đúng

 

[eye_smile]

Bài 6 phải là dấu $\ge$ chư nhỉ

$VT=\dfrac{1-a}{a}.\dfrac{1-b}{b}.\dfrac{1-c}{c}=\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc} \ge \dfrac{2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}}{abc}=8$

Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $a=b=c=1/3$

 

[eye_smile]

Bài 5 có vẻ cũng có vấn đề

$x^4+y^4+z^4 \ge \dfrac{(x^2+y^2+z^2)^2}{3} \ge \dfrac{(xy+yz+zx)^2}{3}=\dfrac{1}{3}$

Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $x=y=z$ và $xy+yz+zx=1$

 

[congchuaanhsang]

2. Cho a, b, c > 0. Cm:
a. $\frac{a^3}{b+c} + \frac{b^3}{a+c}$ + $\frac{c^3}{a+b}$ \geq $\frac{a^2+b^2+c^2}{2}$

$VT=\dfrac{a^4}{ab+ac}+\dfrac{b^4}{ba+bc}+\dfrac{c^4}{ca+cb}$

\geq $\dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(ab+bc+ca)}$

\geq $\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}$ (do $ab+bc+ca \le a^2+b^2+c^2$)

khoa làm rồi mà nhỉ

Á nhầm :|

 

[congchuaanhsang]

b. $\frac{a^4}{b+c} + \frac{b^4}{a+c}$ + $\frac{c^4}{a+b}$ \geq $\frac{a^3+b^3+c^3}{2}$

$VT=\dfrac{a^6}{a^2b+a^2c}+\dfrac{b^6}{b^2a+b^2c}+\dfrac{c^6}{c^2a+c^2b}$

\geq $\dfrac{(a^3+b^3+c^3)^2}{a^2b+b^2a+b^2c+c^2b+c^2a+a^2c}$

Theo Cauchy: $a^3+b^3+c^3 \ge 3ab^2$

$b^3+c^3+c^3 \ge 3bc^2$

$c^3+a^3+a^3 \ge 3ca^2$

\Rightarrow $a^3+b^3+c^3 \ge a^2b+b^2c+c^2a$

Cm tương tự được $a^3+b^3+c^3 \ge ab^2+bc^2+ca^2$

Do đó $a^2b+b^2a+b^2c+c^2b+c^2a+a^2c \le 2(a^3+b^3+c^3)$

\Leftrightarrow $$\dfrac{(a^3+b^3+c^3)^2}{a^2b+b^2a+b^2c+c^2b+c^2a+a^2c} \ge \dfrac{a^3+b^3+c^3}{2}$

\Rightarrow đpcm

 

[eye_smile]

1,$(1+a+b)(c^2+a+b) \ge (a+b+c)^2$

\Rightarrow $\dfrac{1}{a+b+1} \le \dfrac{a+b+c^2}{(a+b+c)^2}$

Tương tự \Rightarrow $1 \le \dfrac{1}{a+b+1}+\dfrac{1}{b+c+1}+\dfrac{1}{c+a+1} \le \dfrac{2(a+b+c)+a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2}$

\Leftrightarrow $(a+b+c)^2 \le 2(a+b+c)+a^2+b^2+c^2$

\Leftrightarrow $ab+bc+ca \le a+b+c$