[Toán 9]Bất đẳng thức

[minhducnguyen_2000@yahoo.com.vn]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho $a, b, c, d > 0, abcd=1$.
C/m: $a^2+b^2+c^2+d^2 + a(b+c) + b(c+d) + d(a+c) \ge 10$
2. Cho $a\ge4, b\ge4.$ C/m:
$a+b \le \frac{a^2+ab+b^2}{6}$
3. a, b, c >0. C/m: $\frac{a+b}{a^2+b^2} + \frac{b+c}{b^2+c^2} + \frac{a+c}{a^2+c^2} \le \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$
4. a, b, c > 0. C/m:
$\frac{1}{p-a} + \frac{1}{p-b} + \frac{1}{p-c} \ge 2(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$
5. Cho a, b, c >0 . C/m:
$\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} + \frac{1}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}} + \frac{1}{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}} \le \frac{a+b+c}{2}$

Chú ý đặt đúng tiêu đề

 

[eye_smile]

4.Không hiểu p là cái gì nữa
3. Có $a^2+b^2 \ge \dfrac{(a+b)^2}{2}$

\Rightarrow $\dfrac{a+b}{a^2+b^2} \le \dfrac{2}{a+b} \le 2.\dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})=\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})$

TT, cộng theo vế \Rightarrow đpcm

 

[eye_smile]

5.$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{a+b}$
\Rightarrow $\dfrac{1}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}} \le \dfrac{a+b}{4}$

TT,có
$\dfrac{1}{\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}} \le \dfrac{b+c}{4}$

$\dfrac{1}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}} \le \dfrac{a+c}{4}$


Cộng theo vế \Rightarrow đpcm

 

[eye_smile]

2,BDT \Leftrightarrow $a^2+ab+b^2 \ge 6(a+b)$
\Leftrightarrow $2a^2+2ab+2b^2 \ge 12(a+b)$

Có: $VT \ge \dfrac{(a+b)^2}{2}+(a+b)^2=\dfrac{3(a+b)^2}{2}$

Cần cm: $\dfrac{3(a+b)^2}{2} \ge 12(a+b)$
\Leftrightarrow $3(a+b)^2-24(a+b) \ge 0$
\Leftrightarrow $(a+b)^2-8(a+b) \ge 0$
\Leftrightarrow $(a+b)(a+b-8) \ge 0$ (ldung với ĐK đã cho )

\Rightarrow đpcm

 

[eye_smile]

4.Nếu không nhầm thì $a;b;c$ là 3 cạnh của tam giác và $p$ là nửa chu vi

Như vậy thì cm như sau:

$\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b} \ge \dfrac{4}{2p-a-b}=\dfrac{4}{c}$

$\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c} \ge \dfrac{4}{2p-b-c}=\dfrac{4}{a}$

$\dfrac{1}{p-c}+\dfrac{1}{p-a} \ge \dfrac{4}{2p-a-c}=\dfrac{4}{b}$

Cộng theo vế \Rightarrow đpcm

 

[eye_smile]

1, $VT=(a^2+b^2+c^2+d^2)+(ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad)$

Có:

$a^2+b^2+c^2+d^2 \ge 4$

$ab+cd \ge 2$

$ac+bd \ge 2$

$bc+ad \ge 2$

Cộng theo vế \Rightarrow đpcm

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1:

Cauchy 10 số: $VT \ge 10\sqrt[10]{a^4b^4c^4d^4} = 10$

 

[congchuaanhsang]

3. a, b, c >0. C/m: $\frac{a+b}{a^2+b^2} + \frac{b+c}{b^2+c^2} + \frac{a+c}{a^2+c^2} \le \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$

$VT \le \dfrac{a+b}{2ab}+\dfrac{b+c}{2bc}+\dfrac{c+a}{2ca}$

\Leftrightarrow $VT \le \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$