[Toán 9] Bất đẳng thức

[sagacious]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.cho a,b,c >0 chúng minh rằng $\dfrac{a^5}{b^2}+\dfrac{b^5}{c^2}+\dfrac{c^5}{a^2} \ge a^2b + b^2c + c^2a$
2.cho x,y,z>0 và $\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+y}+\dfrac{1}{1+z} \ge 2$ .Cmr $xyz \le \dfrac{1}{8}$
3. cho x,y,z >0 thỏa $x^3+y^3+z^3 = 1$
cmr $\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\dfrac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+dfrac{z^2}{\sqrt{1-z^2}} \ge$

@hoangtubongdem5: Chú ý tiêu đề : [Toán 9] + Tiêu đề
~> Lần này mình nhắc nhở và sửa giúp, còn lần sau sẽ xóa

 

[forum_]

2/

Bài này dễ nhưng mình nhác gõ, sớt gg là ra nhanh mà

https://vn.answers.yahoo.com/question/index?qid=20080813114647AAahOpa

p/s: ngoài ra có cách 2 sử dụng BĐT phụ

$\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+y}$ \geq $\dfrac{2}{1+\sqrt[]{xy}}$

(cái này c/m = tg đg)

==> $\dfrac{2}{1+\sqrt[]{xy}}$ + $\dfrac{1}{1+z}$ \geq .....

==> Đpcm

 

[congchuaanhsang]

3, $\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{x^3}{\sqrt{x^2(1-x^2)}}$ \leq $\dfrac{x^3}{\dfrac{1}{2}}=2x^3$

Tương tự rồi cộng từng vê

$VT \le 2(a^3+b^3+c^3)=2$


Vội gì)

Viết nhầm dấu rồi

 

[congchuaanhsang]

2.cho x,y,z>0 và $\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+y}+\dfrac{1}{1+z} \ge 2$ .Cmr $xyz \le \dfrac{1}{8}$

$\dfrac{1}{x+1} \ge (1-\dfrac{1}{1+y})+(1-\dfrac{1}{1+z})$

$=\dfrac{y}{1+y}+\dfrac{z}{1+z}$ \geq $2\sqrt{\dfrac{yz}{(y+1)(z+1)}}$

Tương tự rồi nhân từng vế:

$\dfrac{1}{(x+1)(y+1)(z+1)} \ge \dfrac{8xyz}{(x+1)(y+1)(z+1)}$

\Leftrightarrow $xyz \le \dfrac{1}{8}$

 

[eye_smile]

3,Cái đoạn đầu còn cách khác nhưng hình như cũng là thế)
$\sqrt{1-x^2} \le \dfrac{\dfrac{1-x^2}{x}+x}{2}=\dfrac{1}{2x}$

\Rightarrow .......

Nhưng dấu "=" không xảy ra thì phải

 

[congchuaanhsang]

1.cho a,b,c >0 chúng minh rằng $\dfrac{a^5}{b^2}+\dfrac{b^5}{c^2}+\dfrac{c^5}{a^2} \ge a^2b + b^2c + c^2a$

Áp dụng Cauchy 3 số:

$a^3+a^3+b^3 \ge 3a^2b$

$b^3+b^3+c^3 \ge 3b^2c$

$c^3+c^3+a^3 \ge 3c^2a$

\Rightarrow $a^3+b^3+c^3 \ge a^2b+b^2c+c^2a$

Tiếp tục Cauchy 3 số

$\dfrac{a^5}{b^2}+a^2b+a^2b \ge 3a^3$

$\dfrac{b^5}{c^2}+b^2c+b^2c \ge 3b^3$

$\dfrac{c^5}{a^2}+c^2a+c^2a \ge 3c^3$

Cộng từng vế ta được

$VT+2VP \ge 3(a^3+b^3+c^3) \ge 3VP$

\Leftrightarrow $VT \ge VP$

Vậy bđt được cm

 

[huynhbachkhoa23]

Có $(\dfrac{a^5}{b^2}+\dfrac{a^5}{b^2}+\dfrac{a^5}{b^2}+b^3+b^3) \ge 5a^3$

Suy ra $VT \ge a^3+b^3+c^3$

Giả sử $a\ge b\ge c \rightarrow a^2 \ge b^2\ge c^2$

Hoán vị vòng quanh.