[Toán 9] Bất đẳng thức

[transformers123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $a, \ b, \ c \ge 0$, chứng minh:
$$a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b) \ge \sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}.(ab+bc+ca)$$

 

[huynhbachkhoa23]

Nói chung thế này.

Chuẩn hóa $ab+bc+ca =3$

Có $abc \le 1$ và $a+b+c\ge 3$

Có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

$\sum a^2(b+c) \ge 3\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Theo Cauchy: $VP \le 2\sum a$

Cần chứng minh $\sum a(ab+ac)-2\sum a \ge 0$

$\leftrightarrow \sum a(1-bc) \ge 0$

$\leftrightarrow \sum a - 3abc \ge 0$

Đến đây OK rồi, xác nhận đi bác. =))

 

[su10112000a]

tiếp nào=)):
Cho $a, b, c \ge 0$, chứng minh :
$$(\dfrac{a}{b+c})^2+(\dfrac{b}{c+a})^2+(\dfrac{c}{a+b})^2+\dfrac{10abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \ge 2$$

 

[transformers123]

Đặt $x=\dfrac{a}{b+c}; y=\dfrac{b}{c+a}; z=\dfrac{c}{a+b}$

Với $x+y+z \ge \dfrac{3}{2}$, $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} \ge 6$ và $x,y,z\ge 0$

Dự đoán dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=\dfrac{1}{2}$

Bất đẳng thức trở thành: $x^2+y^2+z^2+10xyz \ge 2$

Tới đây em thua =))

dự đoán điểm rơi sai rồi bác=))
cho bác biết điểm rơi luôn: $x=y=z=1$ hặc $x=0; y=z=2$

Đã sửa, tks thánh

 

[transformers123]

tiếp nào=)):
Cho $a, b, c \ge 0$, chứng minh :
$$(\dfrac{a}{b+c})^2+(\dfrac{b}{c+a})^2+(\dfrac{c}{a+b})^2+\dfrac{10abc}{(a+b)(b+c)(c+a)} \ge 2$$

Không thánh nào giải nhỉ=))
câu khác:
Cho $a, b, c > 0$ thỏa mãn $a+b+c = 3$. Chứng minh:
$$\dfrac{2x^2+y^2+z^2}{4-yz} + \dfrac{2y^2+x^2+z^2}{4-xz}+\dfrac{z^2+x^2+y^2}{4-xy} \ge 4xyz$$
Hướng dẫn : Tách VT rồi áp dụng bđt Cauchy

 

[congchuaanhsang]

Không thánh nào giải nhỉ=))
câu khác:
Cho $a, b, c > 0$ thỏa mãn $a+b+c = 3$. Chứng minh:
$$\dfrac{2x^2+y^2+z^2}{4-yz} + \dfrac{2y^2+x^2+z^2}{4-xz}+\dfrac{z^2+x^2+y^2}{4-xy} \ge 4xyz$$
Hướng dẫn : Tách VT rồi áp dụng bđt Cauchy

Lời giải ở đây

http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=355791

 

[huynhbachkhoa23]

Tiếp đi:
Giả sử $x,y,z$ là ba số dương thoả mãn $x+y \le z$

Tìm GTNN của $A=(x+y+z)(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})$

 

[anhbez9]

Tiếp đi:
Giả sử $x,y,z$ là ba số dương thoả mãn $x+y \le z$

Tìm GTNN của $A=(x+y+z)(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})$

tham gia vs
từ [TEX]x+y\leq z[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow z\geq x+y\geq 2\sqrt[]{xy}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow z\geq 2\sqrt[]{xy}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow A=(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}) [/TEX]
[TEX]=1+1+1+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}[/TEX]
[TEX]=3+(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+\frac{x+y}{2\sqrt[]{xy}}+\frac{2\sqrt[]{xy}}{x}+\frac{2\sqrt[]{xy}}{y}[/TEX]
[TEX]\geq 3+2+1+4=10[/TEX]
dấu = \Leftrightarrow x=y;x+y=z

 

[huynhbachkhoa23]

tham gia vs
từ [TEX]x+y\leq z[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow z\geq x+y\geq 2\sqrt[]{xy}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow z\geq 2\sqrt[]{xy}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow A=(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}) [/TEX]
[TEX]=1+1+1+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}[/TEX]
[TEX]=3+(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+\frac{x+y}{2\sqrt[]{xy}}+\frac{2\sqrt[]{xy}}{x}+\frac{2\sqrt[]{xy}}{y}[/TEX]
[TEX]\geq 3+2+1+4=10[/TEX]
dấu = \Leftrightarrow x=y;x+y=z

Cách khác.

Chuẩn hóa $x+y=2$

Suy ra $z\ge 2$

$(x+y+z)(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}) \ge (2 +z)(2+\dfrac{1}{z})=2z+\dfrac{2}{z}+5=f(z)$

$\dfrac{f(t_1)-f(t_2)}{t_1-t_2}=2-\dfrac{2}{t_1.t_2}>0$ với $t_1,t_2\ge 2$

Suy ra $f(z)\ge f(2)=10$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=\dfrac{z}{2}$