[Toán 9] Bất đẳng thức

[trungthinh.99]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bất đẳng thức

1.Chứng minh với mọi số thực x,y,z,t ta luôn có bất đẳng thức sau:

$x^2+y^2+z^2+t^2$ \geq $x(y+z+t)$. Đẳng thức xảy ra khi nào?

2. Chứng minh với mọi số thực a,b khác không ta luôn có bất đẳng thức sau:

$\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+4$ \geq $3(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a})$

3. Cho x,y là các số dương thỏa mãn $x+\frac{1}{y}$ \leq1. Tìm min của $F=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$

4. Cho x,y là hai số thực thỏa mãn :

$(x+y)^2+7(x+y)+y^2+10=0$. Tìm GTNN của $A=x+y+1$

5. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: $x^3+y^3+z^3=2xyz$

6. Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn: $x+y+z$\leq$\frac{1}{3}$. Tìm min của biểu thức:

$F=x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$

[mọi người làm nhớ trích dẫn đề. À cảm ơn huynhbachkhoa23 sửa đề dùm, hôm qua vội đi học gõ nhanh quá nên đề bị hư.]

 

[hoangtubongdem5]

Giải câu 1

1.Chứng minh với mọi số thực x,y,z,t ta luôn có bất đẳng thức sau:

[TEX]x^2+y^2+z^2+t^2 \geq x(y+z+t)[/TEX]. Đẳng thức xảy ra khi nào?

Bất đẳng thức tương đương với

[TEX]\frac{x^2}{4} + y^2 + \frac{x^2}{4} + z^2 + \frac{x^2}{4} + t^2 +\frac{x^2}{4} - xy - xz - xt \geq 0 [/TEX]

Đó đơn giản vậy thoy, giờ làm 1 cái

[TEX] (\frac{x}{2})^2 + 2.\frac{x}{2}y + y^2 = (\frac{x}{2} + y)^2 [/TEX]

Tương tự, bất đẳng thức đầu tiên tương đương với
[TEX](\frac{x}{2} + y)^2 + (\frac{x}{2} + z)^2 + (\frac{x}{2} + t)^2 + \frac{x^2}{4} \geq 0[/TEX]

Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên bất đẳng thức đầu tiên hiển nhiên đúng

Dấu "=" xảy ra [TEX]\Leftrightarrow y = z = t = -\frac{x}{2} = 0 [/TEX]

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 6:

Ta có $x;y;z\in (0;\dfrac{1}{3})$

Xét $x+\dfrac{1}{x} \ge -80x+18$ với mọi $x\in (0;\dfrac{1}{3})$

Thế vào:

$P \ge -80(x+y+z)+54\ge \dfrac{82}{3}$

Dấu bằng khi $x=y=z=\dfrac{1}{9}$

 

[hoangtubongdem5]

5. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: [TEX]x^3+y^3+z^3=2xyz[/TEX]

Vì x,y,z nguyên dương nên áp dụng BĐT Cô−si, ta có:

[TEX]x^3+y^3+z^3 \geq 3xyz > 2xyz[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] Pt vô nghiệm.

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 4:

Nhân bung ra:

$x^2+2y^2+2xy+7x+7y+10=0$

$\leftrightarrow (x^2+y^2+1+2x+2y+2xy)+5(x+y+1)+y^2+4=0$

$\leftrightarrow A^2+5A+4+y^2=0$

$\leftrightarrow A^2+5A+4 \le 0$

$\leftrightarrow -4 \le A \le -1$

 

[ronaldover7]

6/$x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ \geq $x+y+z+\frac{9}{x+y+z}$
=$x+y+z+\frac{1}{9(x+y+z)}+\frac{80}{9(x+y+z)} $
$x+y+z+\frac{1}{9(x+y+z)}$ \geq$ \frac{2}{3}(cauchy)$
do $x+y+z$ \leq $\frac{1}{3}$
\Rightarrow $\frac{1}{x+y+z}$ \leq 3
\Rightarrow $\frac{80}{9(x+y+z)}$ \geq $\frac{80}{3}$
\Rightarrow $x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ \geq $x+y+z+\frac{9}{x+y+z}$ \geq $\frac{82}{3}$
Dấu = xảy ra khi x=y=z=$\frac{1}{9}$

 

[ronaldover7]

2. Chứng minh với mọi số thực a,b khác không ta luôn có bất đẳng thức sau:

$\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+4$ \geq $3(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a})$

$\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+4$=$(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}))^2+2
GỌi $(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}$=a \Rightarrow a \geq 2
Cần CM $a^2$+2 \geq 3a
\Rightarrow (a-1)(a-2) \geq 0(đúng)
\Rightarrow dpcm!

 

[eye_smile]

Làm nốt câu 3:Từ GT \Rightarrow $\dfrac{y}{x} \ge 4$
$F=(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{16x})+\dfrac{15y}{16x} \ge 2.\dfrac{1}{4}+\dfrac{15}{16}.4=\dfrac{17}{4}$

Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $x=\dfrac{1}{2};y=2$

 

[trungthinh.99]

2. Chứng minh với mọi số thực a,b khác không ta luôn có bất đẳng thức sau:

$\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+4$ \geq $3(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a})$

$\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+4$=$(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}))^2+2$

Gọi $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}=x$ \Rightarrow x \geq 2

Cần CM $x^2+2$ \geq $3x$

\Rightarrow $(x-1)(x-2)$ \geq 0(đúng)

\Rightarrow dpcm!

Mạn phép sửa câu trả lời trong cái trích dẫn cho dễ đọc và dễ hiểu!!!
___________________________________

 

[trungthinh.99]

Làm nốt câu 3:Từ GT \Rightarrow $\dfrac{y}{x} \ge 4$
$F=(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{16x})+\dfrac{15y}{16x} \ge 2.\dfrac{1}{4}+\dfrac{15}{16}.4=\dfrac{17}{4}$

Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $x=\dfrac{1}{2};y=2$

Bạn tìm dấu "=" như thế nào vậy? Có phải lấy

$\frac{1}{16}$ là để tìm dấu "=" đúng không? Nếu không thì lấy $\frac{1}{4}$ cho nó gọn

rồi... Đại loại là như vầy thì k tìm đc dấu "=" hả:

$F=(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{4x})+\dfrac{3y}{4x} \ge 2.\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}.4=4$

Chắc sai... Mà mình chỉ thử của $\frac{1}{4}$ thôi mà...

 

[trungthinh.99]

Bài 4:

Nhân bung ra:

$x^2+2y^2+2xy+7x+7y+10=0$

$\leftrightarrow (x^2+y^2+1+2x+2y+2xy)+5(x+y+1)+y^2+4=0$

$\leftrightarrow A^2+5A+5+y^2=0$

$\leftrightarrow A^2+5A+4 \le 0$

$\leftrightarrow -4 \le A \le -1$

Hàng thứ 3 hiểu đến hàng thứ 4 hiểu đến chỗ $A^2+5A$ còn $5+y^2$ thì chẳng hiểu gì cả . Và sau đó thì mù tịt luôn. Giải thích rõ hơn xíu đc không bạn?

 

[huynhbachkhoa23]

Hàng thứ 3 hiểu đến hàng thứ 4 hiểu đến chỗ $A^2+5A$ còn $5+y^2$ thì chẳng hiểu gì cả . Và sau đó thì mù tịt luôn. Giải thích rõ hơn xíu đc không bạn?

Mình ghi nhầm, phải là $A^2+5A+4+y^2=0$

Chuyển vế: $A^2+5A+4=-y^2 \le 0$

Đến đây dễ rồi

Giải thích luôn bài cuối, mình dùng phương pháp UTC

Ta tìm hệ số $k$ sao cho

$x+\dfrac{1}{x} \ge k(x-\dfrac{1}{9})+\dfrac{82}{9}$

Chuyển vế: $\dfrac{9x^2-82x+9}{9x}=\dfrac{(x-9)(x-\dfrac{1}{9})}{x}$

Xoá $x-\dfrac{1}{9}$ đi, thế $x=\dfrac{1}{9}$ ra được $k=-80$

Vậy $x+\dfrac{1}{x} \ge -80(x-\dfrac{1}{9})+\dfrac{82}{9}=-80x+18$ với mọi $x\in (0;\dfrac{1}{3})$

 

[trungthinh.99]

Mình ghi nhầm, phải là $A^2+5A+4+y^2=0$

Chuyển vế: $A^2+5A+4=-y^2 \le 0$

Đến đây dễ rồi

Giải thích luôn bài cuối, mình dùng phương pháp UTC

Ta tìm hệ số $k$ sao cho

$x+\dfrac{1}{x} \ge k(x-\dfrac{1}{9})+\dfrac{82}{9}$

Chuyển vế: $\dfrac{9x^2-82x+9}{9x}=\dfrac{(x-9)(x-\dfrac{1}{9})}{x}$

Xoá $x-\dfrac{1}{9}$ đi, thế $x=\dfrac{1}{9}$ ra được $k=-80$

Vậy $x+\dfrac{1}{x} \ge -80(x-\dfrac{1}{9})+\dfrac{82}{9}=-80x+18$ với mọi $x\in (0;\dfrac{1}{3})$

Ừ, UTC thì mình k rành lắm vì ít đọc tài liệu về nó... nhưng cũng là một phương pháp khá hay. Cũng định hỏi tại sao câu đó lại có cái đó... Nếu k biết phương pháp đó thì có thể chứng minh như ronado7 cũng đc.
Xem ra học mãi diễn đàn nhiều nhân tài ra phết, mấy bài này dễ cũng có mà khó cũng có, hay là dễ hết

 

[duchieu300699]

Bạn tìm dấu "=" như thế nào vậy? Có phải lấy

$\frac{1}{16}$ là để tìm dấu "=" đúng không? Nếu không thì lấy $\frac{1}{4}$ cho nó gọn

rồi... Đại loại là như vầy thì k tìm đc dấu "=" hả:

$F=(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{4x})+\dfrac{3y}{4x} \ge 2.\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}.4=4$

Chắc sai... Mà mình chỉ thử của $\frac{1}{4}$ thôi mà...

Cách giải khác nha bạn, còn cách của bạn thì ... :|

http://diendan.hocmai.vn/showpost.php?p=2549255&postcount=693