[toán 9] bất đẳng thức

[san1201]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Giúp mình bài BDT này nha. Mình đang cần gấp

Nếu a,b,c là các số dương t/m :
$\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+1}+\dfrac{1}{c+1} \ge 2$
thì $abc \le \dfrac{1}{8}$
Học gõ latex tại đây

 

[eye_smile]

Ta có:
$\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c}$ \geq $2$
\Rightarrow $\dfrac{1}{1+a}$ \geq $\dfrac{b}{1+b}+\dfrac{c}{1+c}$
AD-GM, được:
$\dfrac{b}{1+b}+\dfrac{c}{1+c}$ \geq $2\sqrt{\dfrac{bc}{(1+b)(1+c)}}$
TT, ta được:
$\dfrac{1}{1+b}$ \geq $2\sqrt{\dfrac{ac}{(1+a)(1+c)}}$
$\dfrac{1}{1+c}$ \geq $2\sqrt{\dfrac{ab}{(1+a)(1+b)}}$
Nhân theo vế, được:
$\dfrac{1}{(1+a)(1+b)(1+c)}$ \geq $8.\dfrac{abc}{(1+a)(1+b)(1+c)}$
\Leftrightarrow $abc$ \leq $\dfrac{1}{8}$
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $a=b=c=\dfrac{1}{2}$