[toán 9] bất đẳng thức

[vipboycodon]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c là các số dương , chứng minh rằng :
$A = \dfrac{a}{3a+b+c}+\dfrac{b}{3b+a+c}+\dfrac{c}{3c+a+b} \le \dfrac{3}{5}$

 

[congchuaanhsang]

Đặt $3a+b+c=x$ ; $3b+a+c=y$ ; $3c+a+b=z$\Rightarrowx,y,z>0

Biểu diễn a,b,c theo x,y,z rồi thay vào áp dụng Cauchy

 

[angleofdarkness]

có thể dùng phương pháp sắp thứ tự ẩn a \leq b \leq c sau đó áp BĐT vào từng phân thức để quy về các phân thức mới cũng mẫu.

 

[vuive_yeudoi]

Cho a,b,c là các số dương , chứng minh rằng :
$A = \dfrac{a}{3a+b+c}+\dfrac{b}{3b+a+c}+\dfrac{c}{3c+a+b} \le \dfrac{3}{5}$

Đầu tiên xét :
$$ \frac{a}{a+b+c}-\frac{a}{3a+b+c}=\frac{2a^2}{(a+b+c)(3a+b+c)} $$
Tại vì:
$$ \frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=1 $$
Nên :
$$ 1-A=\frac{2}{(a+b+c)}.\left( \frac{a^2}{3a+b+c}+\frac{b^2}{3b+c+a}+\frac{c^2}{3c+a+b} \right) $$
Cần chứng minh :
$$ \frac{a^2}{3a+b+c}+\frac{b^2}{3b+c+a}+\frac{c^2}{3c+a+b} \ge \frac{a+b+c}{5} $$
Dùng Cauchy Schwarz :
$$ \frac{a^2}{3a+b+c}+\frac{b^2}{3b+c+a}+\frac{c^2}{3c+a+b} \ge \frac{(a+b+c)^2}{5(a+b+c)} = \frac{a+b+c}{5} $$
Đó là điều cần chứng minh .