[toán 9] bất đẳng thức.

[soncute39]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a,b>0, $a+b=1$ . CM: $\dfrac{a^2}{a+1}+ \dfrac{b^2}{b+1} \ge \dfrac{1}{3}$
Chú ý: tiêu đề + latex.
Đã sửa

 

[soicon_boy_9x]

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

$(a+b)^2=(\dfrac{a}{\sqrt{a+1}}.\sqrt{a+1}+\dfrac{b}{\sqrt{b+1}}.
\sqrt{b+1})^2$

$\leq (\dfrac{a^2}{a+1}+\dfrac{b^2}{b+1})(a+b+2)$

$\leftrightarrow 1 \leq 3.(\dfrac{a^2}{a+1}+\dfrac{b^2}{b+1})$

$\leftrightarrow \dfrac{a^2}{a+1}+\dfrac{b^2}{b+1} \geq \dfrac{1}{3}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=\dfrac{1}{2}$

 

[braga]

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:

$(a+b)^2=(\dfrac{a}{\sqrt{a+1}}.\sqrt{a+1}+\dfrac{b}{\sqrt{b+1}}.
\sqrt{b+1})^2$

$\leq (\dfrac{a^2}{a+1}+\dfrac{b^2}{b+1})(a+b+2)$

$\leftrightarrow 1 \leq 3.(\dfrac{a^2}{a+1}+\dfrac{b^2}{b+1})$

$\leftrightarrow \dfrac{a^2}{a+1}+\dfrac{b^2}{b+1} \geq \dfrac{1}{3}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=\dfrac{1}{2}$

$Cauchy-Schwartz$ nhanh gọn
$$\dfrac{a^2}{a+1}+\dfrac{b^2}{b+1}\ge \dfrac{(a+b)^2}{a+b+2}=\dfrac{1}{3}$$

 

[soicon_boy_9x]

$Cauchy-Schwartz$ nhanh gọn
$$\dfrac{a^2}{a+1}+\dfrac{b^2}{b+1}\ge \dfrac{(a+b)^2}{a+b+2}=\dfrac{1}{3}$$

Đi thi Cauchy-Schwartz phải chứng minh lại. Nên áp dụng Bunhiacopxki là chắc chắn ko bị trừ điểm

 

[braga]

Đi thi Cauchy-Schwartz phải chứng minh lại. Nên áp dụng Bunhiacopxki là chắc chắn ko bị trừ điểm

Bunhi cũng phải chứng minh ku à, có Cauchy chắc không phải chứng minh thôi

 

[angleofdarkness]

Bunhi cũng phải chứng minh ku à, có Cauchy chắc không phải chứng minh thôi

Đâu ra, Cauchy bậc II và III đc dùng, Bunhia cũng thế, bậc IV trở lên thì phải c/m

@braga: ở đâu mà sướng thế, chỗ tôi quy định bđt cauchy ko phải chứng minh, còn các loại khác là phải chứng minh mới dc dùng

@Vậy là tùy từng nơi