[Toán 9]Bất đẳng thức

[syaoran_kun]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1, Cho x,y>0 và x+y\geq4
Tìm min A=$\frac{3x^2+4}{4x}$+$\frac{2+y^3}{y^2}$
2, Cm với mọi x thuộc R ta có $( \frac{12}{5} )^x$+$( \frac{15}{4} )^x$+$( \frac{20}{3} )^x$\geq$3^x$+$4^x$+$5^x$

 

[congchuaanhsang]

Bài 1: Ta có A=$\frac{3x}{4}$+$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y^2}$+y
\LeftrightarrowA=($\frac{x}{4}$+$\frac{1}{x}$)+($\frac{x}{2}$+$\frac{y}{2}$)+($\frac{y}{4}$+$\frac{y}{4}$+$\frac{2}{y^2}$)
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương ta có
$\frac{x}{4}$+$\frac{1}{x}$\geq2$\sqrt{\frac{x}{4}.\frac{1}{x}}$=1
$\frac{y}{4}$+$\frac{y}{4}$+$\frac{2}{y^2}$\geq1
Mà x+y\geq4\Rightarrow$\frac{x}{2}$+$\frac{y}{2}$\geq2
\RightarrowA\geq1+1+2=4
Vậy $A_{min}$=4\Leftrightarrowx=y=2

 

[congchuaanhsang]

Bài 2:Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương ta có
$( \frac{12}{5} )^x$+$( \frac{15}{4} )^x$\geq2$\sqrt{(\frac{12}{5}.\frac{15}{4})^x}$=2.$3^x$
$( \frac{15}{4} )^x$+$( \frac{20}{3} )^x$\geq2.$5^x$
$( \frac{12}{5} )^x$+$( \frac{20}{3} )^x$\geq2.$4^x$
\Rightarrow2($( \frac{12}{5} )^x$+$( \frac{15}{4} )^x$+$( \frac{20}{3} )^x$)\geq2($3^x$+$4^x$+$5^x$)
\Leftrightarrow$( \frac{12}{5} )^x$+$( \frac{15}{4} )^x$+$( \frac{20}{3} )^x$\geq$3^x$+$4^x$+$5^x$
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow x=0

 

[delta_epsilon]

Bài 1:
$\begin{array}{l}
A = \dfrac{{3{x^2} + 4}}{{4x}} + \dfrac{{2 + {y^3}}}{{{y^2}}} = \dfrac{{3x}}{4} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{{y^2}}} + \dfrac{y}{2} + \dfrac{y}{2}\\
A\mathop \ge \limits^{A - G} 2\sqrt {\dfrac{{3x}}{4}.\dfrac{1}{x}} + 3\sqrt[3]{{\dfrac{2}{{{y^2}}}.\dfrac{y}{2}.\dfrac{y}{2}}} \ge \sqrt 3 + \dfrac{3}{{\sqrt[3]{2}}}\\
dau - bang - xay - ra: \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{{3x}}{4} = \dfrac{1}{x}\\
\dfrac{2}{{{y^2}}} = \dfrac{y}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} = \dfrac{4}{3}\\
{y^3} = 4
\end{array} \right.\\
x,y > 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\\
y = \sqrt[3]{4}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow {A_{\min }} = \sqrt 3 + \dfrac{3}{{\sqrt[3]{2}}}
\end{array}$

 

[delta_epsilon]

Bài 1: Ta có A=$\frac{3x}{4}$+$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y^2}$+y
\LeftrightarrowA=($\frac{x}{4}$+$\frac{1}{x}$)+($\frac{x}{2}$+$\frac{y}{2}$)+($\frac{y}{4}$+$\frac{y}{4}$+$\frac{2}{y^2}$)
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương ta có
$\frac{x}{4}$+$\frac{1}{x}$\geq2$\sqrt{\frac{x}{4}.\frac{1}{x}}$=1
$\frac{y}{4}$+$\frac{y}{4}$+$\frac{2}{y^2}$\geq1
Mà x+y\geq4\Rightarrow$\frac{x}{2}$+$\frac{y}{2}$\geq2
\RightarrowA\geq1+1+2=4
Vậy $A_{min}$=4\Leftrightarrowx=y=2

Chỗ mình bôi xanh mình nghĩ là bạn làm nhầm, Côsi cho 3 số phải là:
$\dfrac{y}{4} + \dfrac{y}{4} + \dfrac{2}{{{y^2}}} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{y}{4}.\dfrac{y}{4}.\dfrac{2}{{{y^2}}}}} \ge \dfrac{3}{2}$
Nhưng mình vẫn thấy bài làm của bạn hay hơn mình

 

[congchuaanhsang]

Bài 1:
$\begin{array}{l}
A = \dfrac{{3{x^2} + 4}}{{4x}} + \dfrac{{2 + {y^3}}}{{{y^2}}} = \dfrac{{3x}}{4} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{{y^2}}} + \dfrac{y}{2} + \dfrac{y}{2}\\
A\mathop \ge \limits^{A - G} 2\sqrt {\dfrac{{3x}}{4}.\dfrac{1}{x}} + 3\sqrt[3]{{\dfrac{2}{{{y^2}}}.\dfrac{y}{2}.\dfrac{y}{2}}} \ge \sqrt 3 + \dfrac{3}{{\sqrt[3]{2}}}\\
dau - bang - xay - ra: \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{{3x}}{4} = \dfrac{1}{x}\\
\dfrac{2}{{{y^2}}} = \dfrac{y}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} = \dfrac{4}{3}\\
{y^3} = 4
\end{array} \right.\\
x,y > 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\\
y = \sqrt[3]{4}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow {A_{\min }} = \sqrt 3 + \dfrac{3}{{\sqrt[3]{2}}}
\end{array}$

Bài giải này của bạn là sai hoàn toàn nhé!
Đúng là mình đã nhầm lẫn chút về việc áp dụng Cauchy cho 3 số nhưng hướng đi của mình là đúng, và $A_{min}$=$\frac{9}{2}$\Leftrightarrowx=y=2
Bài giải trên của bạn đã bỏ quên điều kiện x+y\geq4 mất rôi!