[Toán 9]Bất đẳng thức

[hanako_kobato]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b là các số nguyên dương thỏa mãn $\frac{a+1}{a}$+$\frac{b+1}{b}$ cũng là số nguyên dương. Gọi d là 1 ước chung của a và b. Cm d\leq$\sqrt{a+b}$

 

[congchuaanhsang]

Ta có: $\frac{a+1}{a}$+$\frac{b+1}{b}$=2+$\frac{1}{a}$+ $\frac{1}{b}$ =2+$\frac{a+b}{ab}$
Vì $\frac{a+1}{a}$+$\frac{b+1}{b}$ là số nguyên dương\Rightarrow$\frac{a+b}{ab}$ là số nguyên dương
\Rightarrow$\frac{a+b}{ab}$\geq1\Leftrightarrowa+b\geqab (1) (vì a,b dương)
Mặt khác d là ước chung của a và b\Rightarrowa\geqd ; b\geqd\Rightarrowab\geq$d^2$ (2)
Từ (1) và (2)\Rightarrowa+b\geq$d^2$ (3)
Vì 2 vế dương nên (3)\Leftrightarrowd\leq$\sqrt{a+b}$