[Toán 9]Bất đẳng thức

C

congchuaanhsang

Lời giải của nè!!

Đặt P là vế trái của BĐT
Ta có: a+b+c+ab+bc+ca=6abc
\Leftrightarrow1/ab+1/bc+1/ca+1/a+1/b+1/c=6(1)
Áp dụng BĐT xy\leq(x^2+y^2)/2 ta có: 1/ab\leq(1/a^2+1/b^2)/2
1/bc\leq(1/b^2+1/c^2)/2
1/ca\leq(1/c^2+1/a^2)/2
Cộng từng vế 3 BĐT trên ta đk: 1/ab+1/bc+1/ca\leq1/a^2+1/b^2+1/c^2=P(2)
Áp dụng BĐT Bunhia ta có: (1/a+1/b+1/c)^2\leq3(1/a^2+1/b^2+1/c^2)
Vì a,b,c dương nên (1/a+1/b+1/c)\leqcăn bậc hai của (3P)(3)
Kết hợp (1),(2),(3) ta có: p+căn bậc hai của (3P)\geq6
\LeftrightarrowP+2*căn bậc hai của P*(căn bậc hai của 3)/2+3/4\geq27/4
\Leftrightarrow(căn bậc hai của P+(căn bậc hai của 3)/2)^2\geq27/4
\LeftrightarrowCăn bậc hai của P+(căn bậc hai của 3)/2\geq(căn bậc hai của 27)/2
\LeftrightarrowCăn bậc hai của p\geqcăn bậc hai của 3 \LeftrightarrowP\geq3
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow a=b=c=1
Tái bút: Anh thông cảm nha, em ko biét cách gõ công thức toán học!!
 
C

conga222222

$\eqalign{
& a + b + c + ab + bc + ca = 6abc \leftrightarrow {1 \over {ab}} + {1 \over {bc}} + {1 \over {ca}} + {1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} = 6 \cr
& \cos i: \cr
& {1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}} + {1 \over {{c^2}}} = {1 \over 3}\left( {{1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{b^2}}} + {1 \over {{b^2}}} + {1 \over {{c^2}}} + {1 \over {{c^2}}} + {1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{a^2}}} + 1 + {1 \over {{b^2}}} + 1 + {1 \over {{c^2}}} + 1} \right) - 1 \ge {1 \over 3}\left( {{2 \over {ab}} + {2 \over {bc}} + {2 \over {ca}} + {2 \over a} + {2 \over b} + {2 \over c}} \right) - 1 = 3 \cr} $
 
N

nguyenbahiep1

beconvaolop said:
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn:[TEX]a+b+c+ab+bc+ca=6abc[/TEX]
C/m:[TEX]\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \geq3[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Đề thi tốt nghiệp lớp 10 năm nay đây mà

[laTEX]\frac{1}{a^2}+ \frac{1}{b^2}+ \frac{1}{c^2} \geq \frac{(\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c})^2}{3} \\ \\ \\ a+b+c+ab+bc+ca=6abc \Rightarrow \frac{1}{ab} +\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} = 6 \\ \\ \\ \frac{1}{ab} +\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc} = 6 - (\frac{1}{a} +\frac{1}{c}+\frac{1}{b}) \\ \\ \\ Mat-khac: (\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c})^2 = \frac{1}{a^2}+ \frac{1}{b^2}+ \frac{1}{c^2} + 2[6 - (\frac{1}{a} +\frac{1}{c}+\frac{1}{b})] \\ \\ \\ \frac{1}{a^2} -\frac{2}{a} + 1 + \frac{1}{b^2} -\frac{2}{b} + 1 + \frac{1}{c^2} -\frac{2}{c} + 1 + 9 \\ \\ \\ \Rightarrow (\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c})^2 \geq 9 \\ \\ \Rightarrow VT \geq \frac{9}{3} = 3 \Rightarrow dpcm \\ \\ a = b = c = 1[/laTEX]
 
V

vuquocthinh

Học sinh
Thành viên
31 Tháng năm 2008
1
0
41
32
cho 3 số dương a b c thỏa mãn a+b+c=3. cmr: ab/căn bậc hai của( c^2+3)+bc/căn bậc hai của(a^2+3)+ca/căn bậc hai của(b^2+3) nhỏ hơn hoặc bằng 3/2
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom