với a,b,c là các số dương và a+b+c=1 cmr
ab/(a+c)(b+c)+bc/(a+c)(a+b)+ac/(b+c)(a+b) \geq 3/4
$\eqalign{
& S = {{ab} \over {\left( {a + c} \right)\left( {b + c} \right)}} + {{bc} \over {\left( {a + c} \right)\left( {a + b} \right)}} + {{ca} \over {\left( {b + c} \right)\left( {a + b} \right)}} \ge {3 \over 4} \cr
& S = {{ab\left( {a + b} \right) + bc\left( {b + c} \right) + ca\left( {c + a} \right)} \over {\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} = {{{a^2}b + {a^2}c + {b^2}a + {b^2}c + {c^2}a + {c^2}b} \over {\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} \cr
& \cos i: \cr
& {a^2}b + {a^2}c + {b^2}a + {b^2}c + {c^2}a + {c^2}b \ge 6\root 6 \of {{a^6}{b^6}{c^6}} = 6abc \cr
& \to {a^2}b + {a^2}c + {b^2}a + {b^2}c + {c^2}a + {c^2}b = {{3\left( {{a^2}b + {a^2}c + {b^2}a + {b^2}c + {c^2}a + {c^2}b} \right)} \over 4} + {{{a^2}b + {a^2}c + {b^2}a + {b^2}c + {c^2}a + {c^2}b} \over 4} \ge {{3\left( {{a^2}b + {a^2}c + {b^2}a + {b^2}c + {c^2}a + {c^2}b} \right)} \over 4} + {{6abc} \over 4} \cr
& = {{3\left( {{a^2}b + {a^2}c + {b^2}a + {b^2}c + {c^2}a + {c^2}b + 2abc} \right)} \over 4} = {{3\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)} \over 4} \cr
& \to S \ge {{3\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)} \over {4\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}} = {3 \over 4} \cr
& dau = \leftrightarrow a = b = c = {1 \over 3} \cr
& \cr} $
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn