[Toán 9] Bất đẳng thức

[soicon_boy_9x]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $a;b;c>0$ và $a+b+c=4$. Chứng minh rằng $(a+b)(b+c)(c+a) \geq a^3b^3c^3$

 

[hthtb22]

Ta có:
$a+b \ge 2\sqrt{ab}; b+c \ge 2\sqrt{bc}; c+a \ge 2\sqrt{ac}$
Nhân lại ta có:
$(a+b)(b+c)(c+a) \ge 8abc$
Cần chứng minh
$8abc \ge (abc)^3 \Leftrightarrow (abc)^2 \le 8$
Thật vậy
Mà $4=a+b+c \ge 3\sqrt[3]{abc} \Rightarrow abc \le \dfrac{64}{27} \Rightarrow(abc)^2 \le \dfrac{4^6}{3^6} \le 8$
Dấu = không xảy ra