[Toán 9] Bất đẳng thức

[mitd]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $a,b,c$ dương. Chứng minh rằng :

[TEX](a^2+b^2+c^2)^2 \geq \frac{(a+b+c)^4}{9} \geq (ab+bc+ca)^2 \geq 3abc(a+b+c) \geq \frac{27a^2b^2c^2}{a^2+b^2+c^2} \geq \frac{27(a+b-c)^2(c+b-a)^2(a+c-b)^2}{a^2+b^2+c^2}[/TEX]

P/s : Là kết hợp của 1 số BĐT Phụ, khá dễ nhưng nên ghi nhớ

 

[huytrandinh]

[TEX].(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}[/TEX]
[TEX]\geq [\frac{(a+b+c)^{2}}{3}]^{2}=\frac{(a+b+c)^{4}}{9}[/TEX]
[TEX]\geq [3(ab+bc+ac)]^{2}.\frac{1}{9}=(ab+bc+ac)^{2}[/TEX]
[TEX].(ab+bc+ac)^{2}\geq 3abc(a+b+c)[/TEX]
[TEX]<=>\sum (ab-ac)^{2}\geq 0[/TEX]
[TEX].3abc(a+b+c)\geq \frac{27(abc)^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}[/TEX]
[TEX]<=>(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a+b+c)\geq 9abc (cauchy)[/TEX]
[TEX]x=a+b-c,y=a+c-b,z=b+c-a[/TEX]
[TEX]=>[(x+y)(y+z)(x+z)]^{2}\geq 64(xyz)^{2} (cauchy)[/TEX]
[TEX](x+y)^{2}\geq 4|xy|,(y+z)^{2}\geq 4|yz|,(x+z)^{2}\geq 4|xz|[/TEX]
[TEX]=>dpcm[/TEX]