[Toán 9] Bất đẳng thức

[ducanh_1997]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh nếu [TEX]a + b \geq 2[/TEX] thì [TEX]a^3+ b^3 \leq a^4 + b^4[/TEX]

Mọi người giúp mình làm bài này với nhá
Mình xin cảm ơn

 

[vodichhocmai]

[TEX]\huge \blue \left{ a^4=a^3 +a-1 +(a-1)^2(a^2+a+1)\\ b^4 =b^3+ b-1+(b-1)^2(b^2+b+1)[/TEX]

[TEX]\huge \blue \ \righ a^4+b^4=a^3+b^3+(a+b-2)+(a-1)^2(a^2+a+1)+(b-1)^2(b^2+b+1)[/TEX]

 

[ducanh_1997]

[TEX]\huge \blue \left{ a^4=a^3 +a-1 +(a-1)^2(a^2+a+1)\\ b^4 =b^3+ b-1+(b-1)^2(b^2+b+1)[/TEX]

[TEX]\huge \blue \ \righ a^4+b^4=a^3+b^3+(a+b-2)+(a-1)^2(a^2+a+1)+(b-1)^2(b^2+b+1)[/TEX]

bạn có thể nói rõ hơn cho mình hiểu được không !
( bạn viết cả lời giải rõ ra cho mình hiểu với nhá ).
tks bạn nhiều .

Lưu ý: Ko dùng chữ đỏ.

 

[buithinhvan77]

Biến đổi tương đương ta có:
[TEX]\blue \ a^4 - a^3 + b^4 - b^3 \geq 0 (1)[/tex]
[TEX]\blue \ a^3(a - 1) + b^3(b - 1) - (a - 1) - (b - 1) + (a + b - 2)\geq 0[/tex]
[TEX]\blue \ (a - 1)(a^3 - 1) + (b - 1)(b^3 - 1) + a + b - 2 \geq 0 [/tex]
[TEX]\blue \ (a - 1)^2(a^2 + a + 1) + (b -1)^2.(b^2 + b + 1) + (a + b - 2) \geq 0 (2)[/tex]
Theo giả thiết:
[TEX]\blue \ a + b \geq 2 => (a + b - 2) \geq 0 [/tex]
và:
[TEX]\blue \ a^2 + a + 1 = (a + \frac{1}{2} )^2 + \frac{3}{4} > 0 => (a - 1)^2(a^2 + a + 1) \geq 0[/tex]
[TEX]\blue \ b^2 + b + 1 = (b + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}> 0 => (b -1)^2.(b^2 + b + 1) \geq 0 [/tex]
Vậy (2) đúng => (1) đúng.
dấu = xảy ra khi: a = b = 1