[Toán 9] Bất đẳng thức

N

noinhobinhyen

Xét 2 biểu thức sau :

$M=\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+d}+\dfrac{d}{d+a}+ \dfrac{a}{a+b}$

$N=\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{d}{c+d}+\dfrac{a}{d+a}+ \dfrac{b}{a+b}$

Ta có : $M+N=\dfrac{b+c}{b+c}+\dfrac{c+d}{c+d}+\dfrac{d+a}{d+a}+
\dfrac{a+b}{a+b}=4$


Gọi biểu thức ban đầu đó là $S$

$S+M=\dfrac{a+b}{b+c}+\dfrac{b+c}{c+d}+\dfrac{c+d}{d+a}+\dfrac{d+a}{a+b} \geq 4$

(Cô-SI)

$S+N =... \geq 4$

$\Rightarrow 2S+M+N \geq 8 \Rightarrow 2S \geq 4 \Rightarrow S \geq 2$
 
K

khanhhotboy98

noinhobinhyen said:
Xét 2 biểu thức sau :

$M=\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+d}+\dfrac{d}{d+a}+ \dfrac{a}{a+b}$

$N=\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{d}{c+d}+\dfrac{a}{d+a}+ \dfrac{b}{a+b}$

Ta có : $M+N=\dfrac{b+c}{b+c}+\dfrac{c+d}{c+d}+\dfrac{d+a}{d+a}+
\dfrac{a+b}{a+b}=4$


Gọi biểu thức ban đầu đó là $S$

$S+M=\dfrac{a+b}{b+c}+\dfrac{b+c}{c+d}+\dfrac{c+d}{d+a}+\dfrac{d+a}{a+b} \geq 4$

(Cô-SI)

$S+N =... \geq 4$

$\Rightarrow 2S+M+N \geq 8 \Rightarrow 2S \geq 4 \Rightarrow S \geq 2$
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Còn điều kiện xảy ra dấu bằng nữa bạn! :D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D
 
N

noinhobinhyen

BĐT Cô-Si thì việc chỉ ra dấu bằng là rất đơn giản .

Đẳng thức xảy ra khi $a+b=b+c=c+d=d+a \Leftrightarrow a=b=c=d$
 
D

doremon707

anh giai thich giup em cho nay nhé.em ko hiểu
ap dung bdt;$\frac{1}{xy}$\geq $\frac{4}{(x+y)^2}$

$\Rightarrow$\frac{a}{b+c}+\frac{c}{d+a}$=$\frac{a^2+ad+bc+c^2}{(b+c)(a+d)}$\geq$\frac{4(a^2+ad+bc+c^2}{(a+b+c+d)^2}$
 
Last edited by a moderator:
N

noinhobinhyen

Đặt $a=x-1 ; b=y-1 ; c=z-1$

suy ra $a;b;c \in [-2;2] ; a+b+c=0 \Rightarrow c=-a-b$

Ta có $(ab)(bc)(ca)=a^2b^2c^2 \geq 0$

chứng tỏ là trong 3 số $ab;bc;ca$ tồn tại ít nhất một số không âm . giả sử $ab \geq 0$

Vì $c \in [-2;2] \Rightarrow c^2 \leq 4$

$\Leftrightarrow c^2+c^2 \leq 8$

$\Leftrightarrow (-a-b)^2+c^2 \leq 8$

$\Leftrightarrow a^2 +b^2+c^2+2ab \leq 8$

Vì $ab \geq 0 \Rightarrow a^2+b^2+c^2 \leq 8$

$\Leftrightarrow (x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2 \leq 8$

$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2 - 2(x+y+z)+3\leq 8$

$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2 \leq 11$
 
T

thutuanprocute

bai nay cung de thoi ma

ta có:
gif.latex

gif.latex

gif.latex

gif.latex

Dấu đẳng thức không xảy ra nên :
gif.latex

Mặt khác:
gif.latex

gif.latex

\Rightarrow đ.p.c.m


cho to xin loi a,b,c lan luot la x,y,z
 
T

thutuanprocute

bai nay cung de thoi ma

chứng minh rằng :
gif.latex

gif.latex


Chứng minh:
gif.latex


Giải ​
gif.latex

gif.latex

Ta có:
gif.latex

​
gif.latex

gif.latex

Ta cần chưng minh:
gif.latex

gif.latex

gif.latex

Mà

gif.latex

gif.latex

gif.latex
\Rightarrow đ.p.c.m
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom