[Toán 9] Bất đẳng thức

[vipkm512]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho 3 số x, y, z thoả mãn: x, y, z thuộc [-1:3] và x+y+z=3
Chứng minh:x^2+y^2+z^2 < 11

 

[noinhobinhyen]

Đặt $a=x-1 ; b=y-1 ; c=z-1$

suy ra $a;b;c \in [-2;2] ; a+b+c=0 \Rightarrow c=-a-b$

Ta có $(ab)(bc)(ca)=a^2b^2c^2 \geq 0$

chứng tỏ là trong 3 số $ab;bc;ca$ tồn tại ít nhất một số không âm . giả sử $ab \geq 0$

Vì $c \in [-2;2] \Rightarrow c^2 \leq 4$

$\Leftrightarrow c^2+c^2 \leq 8$

$\Leftrightarrow (-a-b)^2+c^2 \leq 8$

$\Leftrightarrow a^2 +b^2+c^2+2ab \leq 8$

Vì $ab \geq 0 \Rightarrow a^2+b^2+c^2 \leq 8$

$\Leftrightarrow (x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2 \leq 8$

$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2 - 2(x+y+z)+3\leq 8$

$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2 \leq 11$