[Toán 9] Bất đẳng thức!

[celebi97]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Câu 1: Cho[TEX] \sqrt[]{a^2+b^2}+\sqrt[]{b^2+c^2}+\sqrt[]{a^2+c^2}=\sqrt[]{2011}[/TEX]
C/mR: [TEX]\frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{a+c} + \frac{c^2}{a+b} \geq \frac{1}{2}\sqrt[]{\frac{2011}{2}}[/TEX]
Câu 2: Cho [TEX]a,b,c>0[/TEX] và [TEX]a+b+c=1[/TEX]
C/mR: [TEX]\frac{a}{4b^2+1} + \frac{b}{4c^2+1} + \frac{c}{4a^2+1} \geq (a\sqrt[]{a}+b\sqrt[]{b}+c\sqrt[]{c})^2[/TEX]
Câu 3: Cho [TEX]0 \leq a,b,c\leq2[/TEX] và [TEX]a+b+c=3[/TEX]
Tìm [TEX]Max_P= a^2+b^2+c^2[/TEX]
Câu 4: Cho [TEX]x,y>0[/TEX] và [TEX]x+y\leq4[/TEX]
Tìm [TEX]Min_M= x+y+\frac{5}{x}+\frac{5}{y}[/TEX]
Câu 5: Cho [TEX]a,b,c>0[/TEX] và [TEX]a+b+c=6abc[/TEX]
C/mR: [TEX]\frac{bc}{a^3(c+2b)} + \frac{ca}{b^3(a+2c)} + \frac{ab}{c^3(b+2a)} \geq 2[/TEX]
Câu 6: Cho [TEX]a,b,c>0[/TEX]
Tim [TEX]Min_M= \frac{ax}{y+z} + \frac{by}{z+x} + \frac{cz}{x+y}[/TEX] Với mọi [TEX]x,y,z>0[/TEX]>-

 

[minhtuyb]

Câu 3: Cho [TEX]0 \leq a,b,c\leq2[/TEX] và [TEX]a+b+c=3[/TEX]
Tìm [TEX]Min_P= a^2+b^2+c^2[/TEX]
Câu 4: Cho [TEX]x,y>0[/TEX] và [TEX]x+y\leq4[/TEX]
Tìm [TEX]Min_M= x+y+\frac{5}{x}+\frac{5}{y}[/TEX]

Câu 3 đề đúng là tìm min ko, xem lại nha )
*Min:[TEX]a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}=3[/TEX]
Dấu bằng xảy ra khi [TEX]a=b=c=1[/TEX]
*Max có vẻ khó hơn
Vì [TEX]a,b,c\in [0;2][/TEX] nên:
[TEX](2-a)(2-b)(2-c)\geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 8-4(a+b+c)+2(ab+bc+ca)-abc\geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2(ab+bc+ca)\geq -8+4.3+abc\geq -8+4.3[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)\geq 4[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\leq (a+b+c)^2-4=5[/TEX]
Vậy: [TEX]minP=3[/TEX] khi [TEX]x=y=z=1[/TEX]; [TEX]maxP=5[/TEX] khi [TEX](x;y;z)=(0;1;2)[/TEX] và các hoán vị
Câu 4: Kĩ thuật chọn điểm rơi :x
[TEX]M= x+y+\frac{5}{x}+\frac{5}{y}=(x+y+\frac{4}{x}+\frac{4}{y})+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq 4\sqrt[4]{x.y.\frac{4}{x}.\frac{4}{y}}+\frac{4}{x+y}\geq 4.2+\frac{4}{4}=9[/TEX]
Vậy [TEX]minM=9\Leftrightarrow x=y=2[/TEX]

 

[quyenuy0241]

Câu 1: Cho[TEX] \sqrt[]{a^2+b^2}+\sqrt[]{b^2+c^2}+\sqrt[]{a^2+c^2}=\sqrt[]{2011}[/TEX]
Câu 6: Cho [TEX]a,b,c>0[/TEX]
Tim [TEX]Min_M= \frac{ax}{y+z} + \frac{by}{z+x} + \frac{cz}{x+y}[/TEX] Với mọi [TEX]x,y,z>0[/TEX]>-

biết làm mỗi câu này : [tex]M+a+b+c= \frac{a(x+y+z)}{y+z}+\frac{b(x+y+z)}{x+z}+\frac{c(x+y+z)}{x+y}= (x+y+z)(\frac{a}{y+z}+\frac{b}{x+z}+\frac{c}{x+y})\geq (x+y+z). \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{2(x+y+z)}[/tex]

thế thì : [TEX]M \ge \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2}{2}-a-b-c [/tex]

 

[quyenuy0241]

câu 5 [TEX]\frac{1}{a}=x ,\frac{1}{b}=y ,,,, \frac{1}{c}=z[/TEX]

[tex]DK \Leftrightarrow xy+yz+xz=6 [/tex]

[tex]M=\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y^3}{2x+z}+\frac{z^3}{x+2y} \geq \frac{(x^2+y^2+z^2)^2}{3(xy+yz+xz)}\geq 2 [/tex] Còn gì k nhỷ?

 

[asroma11235]

C/mR: [TEX]\frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{a+c} + \frac{c^2}{a+b} \geq \frac{1}{2}\sqrt[]{\frac{2011}{2}}[/TEX]

Ta có:
[TEX]\sqrt{2011} \leq \sum \sqrt{a^2+b^2} \leq \sqrt{3.2(a^2+b^2+c^2)}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a^2+b^2+c^2 \geq \frac{2011}{6}[/TEX]
Mặt khác, theo Chebyshev:
[TEX]\sum \frac{a^2}{b+c} \geq \frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)(\sum \frac{1}{b+c}) \geq \frac{9}{3.2(a+b+c)}(a^2+b^2+c^2) \geq (a^2+b^2+c^2). \frac{3}{2.\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}} \geq \frac{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}{2}[/TEX]
-Bạn nhớ lấy kết quả tổng quát này nhé .
-Thay [TEX]a^2+b^2+c^2 \geq \frac{2011}{6}[/TEX] vào, ta được điều phải chứng minh.
-p/s: Câu 2 nhìn nhầm cái đề

 

[bboy114crew]

Câu 2:
Gợi ý dùng Cauchy-Schwarz!
...........................................................

 

[celebi97]

Câu 2:
Gợi ý dùng Cauchy-Schwarz!
...........................................................

Cảm ơn anh! Em làm được rồi! Nhân lần lượt a,b,c vào cả tử và mẫu của ba phân số! Sau đó dùng Côsy!

 

[taolmdoi]

Ta có:
[TEX]\sqrt{2011} \leq \sum \sqrt{a^2+b^2} \leq \sqrt{3.2(a^2+b^2+c^2)}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a^2+b^2+c^2 \geq \frac{2011}{6}[/TEX]
Mặt khác, theo Chebyshev:
[TEX]\sum \frac{a^2}{b+c} \geq \frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)(\sum \frac{1}{b+c}) \geq \frac{9}{3.2(a+b+c)}(a^2+b^2+c^2) \geq (a^2+b^2+c^2). \frac{3}{2.\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}} \geq \frac{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}{2}[/TEX]
-Bạn nhớ lấy kết quả tổng quát này nhé .
-Thay [TEX]a^2+b^2+c^2 \geq \frac{2011}{6}[/TEX] vào, ta được điều phải chứng minh.
-p/s: Câu 2 nhìn nhầm cái đề

Bài này dùng mincopxki 2 lần đk k anh?.............