[Toán 9]Bất đẳng thức

[son9701]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a;b;c>0 và a+b+c=4.Tìm GTNN của:
[TEX]A=\frac{a^4}{(a+b)(a^2+b^2)}+\frac{b^4}{(b+c)(b^2+c^2)}+\frac{c^4}{(c+a)(c^2+a^2)}[/TEX]

 

[harrypham]

Đặt

[TEX]B = \frac{b^4}{(a+b)(a^2+b^2)}+ \frac{c^4}{(b+c)(b^2+c^2)}+ \frac{a^4}{(c+a)(c^2+a^2)} [/TEX]​

Ta có

[TEX]A - B = \frac{a^4-b^4}{(a+b)(a^2+b^2)}+ \frac{b^4-c^4}{(b+c)(b^2+c^2)}+ \frac{c^4-a^4}{(c+a)(c^2+a^2)}[/TEX]

[TEX]= a-b+b-c+c-a = 0[/TEX]

[TEX]\Rightarrow A=B[/TEX]​

Vậy

[TEX]2A = \frac{a^4+b^4}{(a+b)(a^2+b^2)}+ \frac{b^4+c^4}{(b+c)(b^2+c^2)}+ \frac{c^4+a^4}{(c+a)(c^2+a^2)} \ge \frac{a+b}{4}+\frac{b+c}{4}+\frac{c+a}{4} = \frac{a+b+c}{2} = 2[/TEX]

Do đó [TEX]\fbox{A \ge 1}[/TEX].