[Toán 9]Bất đẳng thức

[shayneward_1997]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b,c là các số thực dương có tổng bằng 1.
CMR:
[TEX]9\sqrt{(a+bc)(b+ac)(c+ab)}\geq 8 (ab+bc+ca)[/TEX]
(Ai đọc thanks em giùm cái ,60k của (mẹ) em mà)

 

[son9701]

Cho a,b,c là các số thực dương có tổng bằng 1.
CMR:
[TEX]9\sqrt{(a+bc)(b+ac)(c+ab)}\geq 8 (ab+bc+ca)[/TEX]
(Ai đọc thanks em giùm cái ,60k của (mẹ) em mà)

Ta có : [TEX]a+bc=bc-b-c+1=(1-b)(1-c)[/TEX]
CMTT các đẳng thức còn lại
[TEX]\Rightarrow 9\sqrt{(a+bc)(b+ca)(c+ab)}=9(1-a)(1-b)(1-c)=9(a+b)(b+c)(c+a)[/TEX]
Ta cần cminh:
[TEX]9(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8(ab+bc+ca)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 9ab(a+b)+9bc(b+c)+9ca(c+a)+18abc\geq 8(ab+bc+ca)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow ab(9a+9b-8)+bc(9b+9c-8)+ca(9c+9a-8)+18abc \geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow ab(a+b-8c)+bc(b+c-8a)+ca(c+a-8b)+18abc \geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow ab^2+a^2b+bc^2+b^2c+ac^2+a^2c-6abc\geq 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2\geq 0[/TEX](bđt đúng)
Vậy bài toán đc cminh hoàn toàn