[Toán 9]Bất đẳng thức

[minsunghyo]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho a,b,c dương thỏa mãn [TEX]a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3[/TEX]
[TEX]\frac{ab}c + \frac{bc}a + \frac{ac}b \geq 3[/TEX]

2. CHo x,y,z > 0. C/m
[TEX]\frac{x^{3}}{yz} + \frac{y^{3}}{zx} + \frac{z^{3}}{xy} \geq x + y + z[/TEX]

 

[son9701]

1. Cho a,b,c dương thỏa mãn [TEX]a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3[/TEX]
[TEX]\frac{ab}c + \frac{bc}a + \frac{ac}b \geq 3[/TEX]

2. CHo x,y,z > 0. C/m
[TEX]\frac{x^{3}}{yz} + \frac{y^{3}}{zx} + \frac{z^{3}}{xy} \geq x + y + z[/TEX]

Chém câu 2 đã
Ta có bđt Côsi 3 số:
[TEX]\frac{x^3}{yz}+y+z\geq 3x[/TEX]
[TEX]\frac{y^3}{xz}+x+z\geq 3y[/TEX]
[TEX]\frac{z^3}{xy}+x+y\geq 3z[/TEX]
[TEX]\Rightarrow \frac{x^3}{yz}+\frac{y^3}{xz}+\frac{z^3}{xy}\geq x+y+z[/TEX]

 

[son9701]

Chém câu 1 (Hây):
Ta có :
[TEX]\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\geq 2b[/TEX]
CMTT ta có 2 bđt còn lại tg tự
Cộng theo vế 3 bđt cùng chiều
[TEX]\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}\geq a+b+c[/TEX](1)
Mặt khác:
[TEX](a+b+c)^2\geq 3(a^2+b^2+c^2)=9[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a+b+c \geq 3[/TEX](2)

Từ(1) và(2) ta đc đpcm

 

[rinnegan_97]

Chém câu 1 (Hây):
Ta có :
[TEX]\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\geq 2b[/TEX]
CMTT ta có 2 bđt còn lại tg tự
Cộng theo vế 3 bđt cùng chiều
[TEX]\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}+\frac{bc}{a}\geq a+b+c[/TEX](1)
Mặt khác:
[TEX](a+b+c)^2\geq 3(a^2+b^2+c^2)=9[/TEX]
[TEX]\Rightarrow a+b+c \geq 3[/TEX](2)

Từ(1) và(2) ta đc đpcm

làm sai roy pan ơi, bất đẳng thức này là :
[TEX](a+b+c)^2\leq3(a^2+b^2+c^2)[/TEX]

 

[minsunghyo]

làm sai roy pan ơi, bất đẳng thức này là :
[TEX](a+b+c)^2\leq3(a^2+b^2+c^2)[/TEX]

không. [TEX](a + b + c)^{2} \geq 3( a^{2} + b^{2} + c^{2}[/TEX] là đúng

 

[rinnegan_97]

đúng cái con khỉ

chứng mik đi nào, coa cần tui giải lại cho coi ko, ko bik thì đưng ra vẻ nhaz

 

[rinnegan_97]

nhìn kĩ đây nek`

[TEX]A^2=\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}+2(a^2+b^2+c^2)[/TEX]

Thay [TEX]a^2+b^2+c^2=3\Rightarrow2(a^2+b^2+c^2)=6[/TEX]
mak` [TEX]A^2=\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}\geq[TEX]a^2+b^2+c^2=3[/TEX]
\Rightarrow[TEX]A^2\geq9 nên A\geq3[/TEX]

 

[minsunghyo]

chứng mik đi nào, coa cần tui giải lại cho coi ko, ko bik thì đưng ra vẻ nhaz

ta có: [TEX]a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq ab + bc + ac[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 2(a^{2} + b^{2} + c^{2}) \geq 2(ab + bc + ac)[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 3(a^{2} + b^{2} + c^{2}) \geq (a + b + c)^{2}[/TEX]

 

[minsunghyo]

[TEX]A^2=\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}+2(a^2+b^2+c^2)[/TEX]

Thay [TEX]a^2+b^2+c^2=3\Rightarrow2(a^2+b^2+c^2)=6[/TEX]
mak` [TEX]A^2=\frac{a^2b^2}{c^2}+\frac{b^2c^2}{a^2}+\frac{a^2c^2}{b^2}\geq[TEX]a^2+b^2+c^2=3[/TEX]
\Rightarrow[TEX]A^2\geq9 nên A\geq3[/TEX]

Xin lỗi. Mìh nhìn nhầm, xin lỗi, xin lỗi b-(b-Db-(

 

[minsunghyo]

CMR: [TEX]\frac{a^{2}}{b^{2} + c^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2} + a^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2} + b^{2}} \leq \frac{a^{3} + b^{3} + c^{3}}{2abc}[/TEX]

 

[khanh_ndd]

CMR: [TEX]\frac{a^{2}}{b^{2} + c^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2} + a^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2} + b^{2}} \leq \frac{a^{3} + b^{3} + c^{3}}{2abc}[/TEX]

Sử dụng AM-GM có:
[TEX]\sum \frac{a^{2}}{b^{2} + c^{2}}\le \sum \frac{a^{2}}{2bc}=\frac{a^{3} + b^{3} + c^{3}}{2abc}[/TEX]

 

[bachoc9x]

CMR: [TEX]\frac{a^{2}}{b^{2} + c^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2} + a^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2} + b^{2}} \leq \frac{a^{3} + b^{3} + c^{3}}{2abc}[/TEX]

Áp dụng bdt phụ: [TEX]x^2+y^2>=2xy[/TEX], ta dc:
[TEX]\frac{a^{2}}{b^{2} + c^{2}} \leq \frac{a^2}{2bc}[/tex]
[TEX]\frac{b^{2}}{c^{2} + a^{2}} \leq \frac{b^2}{2ca}[/tex]
[TEX]\frac{c^{2}}{a^{2} + b^{2}} \leq \frac{c^2}{2ab}[/tex]

Cộng vế với vế rồi quy đồng ta dc điều cần chứng minh.

 

[rinnegan_97]

bài này khá dễ

ta xét [TEX] \frac{a^2}{b^2+c^2}\leq \frac{a^2}{2bc}= \frac{a^3}{2abc}[/TEX]
tương tự vs[TEX] \frac{b^2}{a^2+c^2}\leq \frac{b^2}{2ac}= \frac{b^3}{2abc}[/TEX]

[TEX] \frac{c^2}{b^2+a^2}\leq \frac{c^2}{2ab}= \frac{c^3}{2abc}[/TEX]

cộng cả 3 lại \Rightarrow dpcm