[Toán 9] Bất đẳng thức

[nguyenkhanhchi]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1, Cho [TEX] x+y+z=0 [/TEX] ;
[TEX] x+1 \geq 0 [/TEX] ;
[TEX] y+1 \geq 0 [/TEX] ;
[TEX] z+4 \geq 0 [/TEX]
CMR: [TEX]\frac{x}{x+1} + \frac{y}{y+1}+ \frac{z}{z+4} \leq \frac{1}{3}[/TEX]
2, Cho a,b > 0 và a+b=1. CMR: [TEX]\frac{1}{ab} +\frac{1}{a^2+b^2} \geq 6[/TEX]
3, Cho a, b ,c ,d >0. CMR: [TEX]\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{a+c+d}+ \frac{c}{a+b+d}+ \frac{d}{a+b+c}[/TEX]
4, Cho [TEX]x,y,z \in [0;1][/TEX] và [TEX]x+y+z= \frac{3}{2}[/TEX] CMR:
[TEX] \frac{3}{4} \leq x^2+y^2+z^2 \leq \frac{5}{4} [/TEX]
5, Cho [TEX]x,y \in R[/TEX] sao cho [TEX]2x^2+y^2-2xy=1[/TEX] CMR:
[TEX]x^4+y^4-2x^2y^2 \leq 3[/TEX]
6, Cho x,y,z thoả mãn [TEX] x,y,z >0 [/TEX] ;
[TEX] 2x+y+3z=6 [/TEX] ;
[TEX]3x+4y-3z=4 [/TEX]
[/TEX]
CMR: [TEX]2x+3y-4z \geq \frac{2}{3} [/TEX]

 

[minhtuyb]

6, Cho x,y,z thoả mãn [TEX] x,y,z >0 [/TEX] ;
[TEX] 2x+y+3z=6 \\(1)[/TEX] ;
[TEX]3x+4y-3z=4 \\(2)[/TEX]
[/TEX]
CMR: [TEX]2x+3y-4z \geq \frac{2}{3} [/TEX]

-Theo mình thì đề bài phải là[TEX]x,y,z \geq0[/TEX] thì [TEX]A=2x+3y-4z \geq \frac{2}{3}[/TEX]. Bạn xem lại đề hộ mình nha:
-Cộng 2 vế của [TEX](1)[/TEX] và [TEX](2)[/TEX], ta có:
[TEX]2x+y+3z+3x+4y-3z=6+4 \Leftrightarrow 5x+5x=10 \Leftrightarrow x+y=2 \Leftrightarrow y=2-x (*)[/TEX]
-Thay [TEX]y=2-x[/TEX] vào [TEX](1)[/TEX], ta có:
[TEX]2x+2-x+3z=6\Leftrightarrow x+3z=4\Leftrightarrow z= \frac {4-x}{3}(**)[/TEX]
-Từ [TEX](*)[/TEX] và [TEX](**)[/TEX] suy ra:
[TEX]A=2x+3(2-x)-4\frac {4-x}{3}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow3A=6x+9(2-x)-4(4-x)=6x-9x+18-16+4x=x+2 \geq2[/TEX] (Vì [TEX]x\geq0[/TEX])
[TEX]\Rightarrow A\geq\frac{2}{3}[/TEX]
-Dấu "=" xảy ra khi:
[TEX]x=0[/TEX]
[TEX]\left {y+3z=6 \\ 4y-3z=4. \Leftrightarrow \left {y=2 \\ z=\frac{4}{3}.[/TEX]

 

[asroma11235]

1, Cho [TEX] x+y+z=0 [/TEX] ;
[TEX] x+1 \geq 0 [/TEX] ;
[TEX] y+1 \geq 0 [/TEX] ;
[TEX] z+4 \geq 0 [/TEX]
CMR: [TEX]\frac{x}{x+1} + \frac{y}{y+1}+ \frac{z}{z+4} \leq \frac{1}{3}[/TEX]
2, Cho a,b > 0 và a+b=1. CMR: [TEX]\frac{1}{ab} +\frac{1}{a^2+b^2} \geq 6[/TEX]
3, Cho a, b ,c ,d >0. CMR: [TEX]\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{a+c+d}+ \frac{c}{a+b+d}+ \frac{d}{a+b+c} \geq \frac{16}{9}[/TEX]
4, Cho [TEX]x,y,z \in [0;1][/TEX] và [TEX]x+y+z= \frac{3}{2}[/TEX] CMR:
[TEX] \frac{3}{4} \leq x^2+y^2+z^2 \leq \frac{5}{4} [/TEX]

1) Cộng vế trái (VT) với [TEX]\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{4}{z+4}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 3 -(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{4}{z+4}) \leq \frac{1}{3}[/TEX]
Ta cần Cm:
[TEX]\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{4}{z+4} \geq \frac{8}{3}[/TEX]
Thật vậy:
[TEX]\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{4}{z+4} \geq \frac{4}{x+y+2}+\frac{4}{z+4} \geq \frac{16}{x+y+z+6} = \frac{8}{3}[/TEX] (Ngó giả thiết)
Dấu bằng xảy ra bạn tự Cm coi như 1 bài tập/ chú ý là dấu "=" xảy ra ko đối xứng!!!
2)[TEX]\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2} = \frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2} \geq \frac{1}{2ab} + \frac{4}{(a+b)^2} \geq \frac{1}{2.\frac{1}{4}}+4 =6[/TEX] (từ giả thiết => ab \leq 1/4)
Dấu "=" bạn tự tìm!
3)Giả sử [TEX]x \geq y \geq z[/TEX] => [TEX]\frac{1}{b+c+d} \geq \frac{1}{a+c+d} \geq \frac{1}{a+b+d} \geq \frac{1}{a+b+c}[/TEX]
Theo Chebyshev:
[TEX]A \geq \frac{1}{3}(1+b+c+d)(\frac{1}{b+c+d} + \frac{1}{a+c+d} + \frac{1}{a+b+d} + \frac{1}{a+b+c}) \geq \frac{1}{3}(a+b+c+d) \frac{16}{3(a+b+c+d)}= \frac{16}{9}[/TEX]
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c=d
4)Phần Min:
[TEX]x^2+y^2+z^2 +2(xy+yz+xz) = 9/4 => 3(x^2+y^2+z^2) \geq 9/4 => x^2+y^2+z^2 \geq 3/4[/TEX]
Hoặc:
[TEX]3(x^2+y^2+z^2) \geq (x+y+z)^2 =9/4 => dpcm[/TEX]

 

[shayneward_1997]

Thanks bạn 10 cái luôn nếu mình có thể. Câu 3 ko rõ đề vẫn lm dc