[Toán 9] Bất đẳng thức và cực trị

[s_m_i_l_e]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh 1 tam giác có chu vi bằng 1. C/m:

$\dfrac{2}{9} \leq a^{3} + b^{3} + c^{3} +3abc < \dfrac{1}{4}$

2.Cho x,y,z thoả mãn :

$\dfrac{8-x^{4}}{16+x^{4}} + \dfrac{8-y^{4}}{16+ y^{4}} + \dfrac{8-z^{4}}{16+z^{4}} \geq 0$
Tìm min, max của P=xyz

3.CMR: với mọi a,b,c>0 thì:

$\dfrac{4}{a}+ \dfrac{5}{b}+ \dfrac{3}{c} \geq 4(\dfrac{3}{a+b}+ \dfrac{2}{b+c}+\dfrac{1}{a+c})$

4.Cho a,b,c \geq 1. CMR:
$P=\dfrac{1}{1+a^{6}} + \dfrac{1}{1+b^{3}} + \dfrac{1}{1+c^{2}} \geq \dfrac{6}{1+abc}$

P/S : 2 bài đầu tôi đã từng hỏi mà chẳng ai trả lời giúp (
Cảm ơn

 

[congchuaanhsang]

3, Áp dụng $\dfrac{1}{x+y}$\leq$\dfrac{1}{4}( \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} )$ với mọi x,y dương

cho từng phân thức ở VP rồi cộng lại

 

[forum_]

4/

Hướng dẫn

Bạn chứng minh dựa theo tách các số và sau đó dùng Cauchy :

$\dfrac{1+abc}{1+a^6}+\dfrac{1+abc}{1+b^3}+\dfrac{1+abc}{1+c^2}$ \geq 6

 

[forum_]

2/

Biểu thức đã cho đc biến đổi thành:

$\dfrac{8-x^4}{16+x^4}+\dfrac{8-y^4}{16+y^4}+\dfrac{8-z^4}{16+z^4}$ \geq $\dfrac{1}{8}$ \Leftrightarrow $\dfrac{1}{16+x^4}+\dfrac{1}{16+y^4}+\dfrac{1}{16+z^4}$ \geq $\dfrac{1}{8}$

Từ đó suy ra:

$\dfrac{1}{16+x^4}$ \geq $\dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{16+y^4}+\dfrac{1}{16+z^4}$

$= \dfrac{1}{16} - \dfrac{1}{16+y^4} + \dfrac{1}{16} - \dfrac{1}{16+z^4}$

=$\dfrac{y^4}{16(16+y^4)} + \dfrac{z^4}{16(16+z^4)}$

Theo AM-GM:

$\dfrac{y^4}{16(16+y^4)} + \dfrac{z^4}{16(16+z^4)}$ \geq $\dfrac{y^2z^2}{8\sqrt[]{(16+y^4)(16+z^4)}}$ (1)

Tương tự rồi nhân các bđt lại với nhau ta đc:

$\dfrac{1}{(16+x^4)(16+y^4)(16+z^4)}$ \geq $\dfrac{(xyz)^4}{8^3(16+x^4)(16+y^4)(16+z^4)}$

\Leftrightarrow $-4\sqrt[4]{2}$ \leq xyz \leq $4\sqrt[4]{2}$

-Với $ xyz = -4\sqrt[4]{2}$ khi chỉ khi $x=y=z= -\sqrt[4]{8}$

-Với $ xyz = 4\sqrt[4]{2}$ khi chỉ khi $x=y=z= \sqrt[4]{8}$

Vậy GTLN của $xyz = 4\sqrt[4]{2}$ khi chỉ khi $x=y=z= \sqrt[4]{8}$

GTNN của $xyz = -4\sqrt[4]{2}$ khi chỉ khi $x=y=z= -\sqrt[4]{8}$

 

[congchuaanhsang]

1, Gọi P là biểu thức đang cần cm

Áp dụng bđt quen thuộc

$(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$\leq$abc$

\Leftrightarrow$(1-2a)(1-2b)(1-2c)$\leq$abc$

\Leftrightarrow$abc$\geq$-1+a(ab+bc+ca)-8abc$

\Leftrightarrow$6abc$\geq$\dfrac{-2}{3}+\dfrac{8}{3}(ab+bc+ca)$ (1)

$a^3+b^3+c^3-3abc$=$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ (2)

Từ (1) và (2) \Rightarrow $a^3+b^3+c^3+3abc$\geq$a^2+b^2+c^2+\dfrac{5}{3}
(ab+bc+ca)-\dfrac{2}{3}$

Mà $ab+bc+ca$=$\dfrac{1-(a^2+b^2+c^2)}{2}$

\RightarrowP\geq$\dfrac{1}{6}(a^2+b^2+c^2)+\dfrac{1}{6}$\geq$\dfrac{2}{9}$

 

[congchuaanhsang]

1, $abc$\geq$(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$=$-1+4(ab+bc+ca)-8abc$>0

\Leftrightarrow$ab+bc+ca-2abc$>$\dfrac{1}{4}$

P=$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca+6abc$=$(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)+6abc$

\Leftrightarrow$P=1-3(ab+bc+ca-2abc$<$\dfrac{1}{4}$

 

[s_m_i_l_e]

Biểu thức đã cho đc biến đổi thành:

$\dfrac{8-x^4}{16+x^4}+\dfrac{8-y^4}{16+y^4}+\dfrac{8-z^4}{16+z^4}$ \geq $\dfrac{1}{8}$



biểu thức đã cho chỉ là cái VT $\geq$ 0 thôi mà, sao lại biến đổi kiểu gì ra đc VT $\geq\dfrac{1}{8}$ hả cậu

Do mình cm tương đương