[Toán 9] Bất đẳng thức mới

[khanhtoan_qb]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau với a,b là số thực dương.
[TEX]A= \sqrt{\frac{x^3}{x^3 + 8y^3}} + \sqrt{\frac{4y^3}{y^3 + (x + y)^3}}[/TEX]
p/s: chỉ cho tui với cái phương pháp làm lun nha Thanks nhìu

 

[vitconcatinh_foreverloveyou]

[TEX]\sqrt{\frac{x^3}{x^3 + 8y^3}} \geq \frac{x^2}{x^2 + 2y^2}(1)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{x^3}{x^3 + 8y^3} \geq \frac{x^4}{(x^2 + 2y^2)^2}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (x^2 + 2y^2)^2 \geq x(x^3 + 8y^3) \Leftrightarrow 4x^2y^2 + 4y^4 \geq 8xy^3 \Leftrightarrow x^2 + y^2 \geq 2xy (dung)[/TEX]

[TEX]\sqrt{\frac{y^3}{y^3 + (x+y)^3}} \geq \frac{y^2 }{x^2 + 2y^2} (2)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{y^3}{y^3 + (x+y)^3} \geq \frac{y^4 }{(x^2 + 2y^2)^2}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (x^2 + 2y^2)^2 \geq y\big( y^3 + (x+y)^3\big) \Leftrightarrow (x^2 + 2y^2)^2 - y^4 \geq y(x+y)^3 \Leftrightarrow (x^2 + y^2)(x^2 + 3y^2) \geq y(x+y)^3[/TEX]

[TEX]x^2 + y^2 \geq \frac{(x+y)^2}{2}[/TEX]

[TEX]x^2 + 3y^2 = x^2 + y^2 + 2y^2 \geq 2xy + 2y^2 = 2y(x+y)[/TEX]

[TEX]\Rightarrow (x^2 + y^2)(x^2 + 3y^2) \geq y(x+y)^3 \Rightarrow (2) dung[/TEX]

[TEX]Tu (1) , (2) \Rightarrow A \geq 1 \Leftrightarrow x=y[/TEX]

 

[leehyo]

[TEX]\sqrt{\frac{x^3}{x^3 + 8y^3}} \geq \frac{x^2}{x^2 + 2y^2}(1)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{x^3}{x^3 + 8y^3} \geq \frac{x^4}{(x^2 + 2y^2)^2}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (x^2 + 2y^2)^2 \geq x(x^3 + 8y^3) \Leftrightarrow 4x^2y^2 + 4y^4 \geq 8xy^3 \Leftrightarrow x^2 + y^2 \geq 2xy (dung)[/TEX]

[TEX]\sqrt{\frac{y^3}{y^3 + (x+y)^3}} \geq \frac{y^2 }{x^2 + 2y^2} (2)[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{y^3}{y^3 + (x+y)^3} \geq \frac{y^4 }{(x^2 + 2y^2)^2}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (x^2 + 2y^2)^2 \geq y\big( y^3 + (x+y)^3\big) \Leftrightarrow (x^2 + 2y^2)^2 - y^4 \geq y(x+y)^3 \Leftrightarrow (x^2 + y^2)(x^2 + 3y^2) \geq y(x+y)^3[/TEX]

[TEX]x^2 + y^2 \geq \frac{(x+y)^2}{2}[/TEX]

[TEX]x^2 + 3y^2 = x^2 + y^2 + 2y^2 \geq 2xy + 2y^2 = 2y(x+y)[/TEX]

[TEX]\Rightarrow (x^2 + y^2)(x^2 + 3y^2) \geq y(x+y)^3 \Rightarrow (2) dung[/TEX]

[TEX]Tu (1) , (2) \Rightarrow A \geq 1 \Leftrightarrow x=y[/TEX]

Nhưng làm soa bn tìm được bđt đầu tiên để đánh giá

[TEX]\sqrt{\frac{x^3}{x^3 + 8y^3}} \geq \frac{x^2}{x^2 + 2y^2}(1)[/TEX]

 

[braga]

Ta có:
[TEX]P = \sqrt{\frac{x^3}{x^3 + 8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3 + (x + y)^3}} \\ =\frac{1}{\sqrt{1+\frac{8y^3}{x^3}}}+\frac{2}{ \sqrt{1+(1+\frac{x}{y })^3}}[/TEX]

Đặt [TEX]\frac{y}{x}=a \Rightarrow P=\frac{1}{\sqrt{1+8a^3}}+\frac{2}{\sqrt{1+(1+\fr{1}{a})^3}[/TEX]

[TEX]P=\frac{1}{(2a+1)(4a^2-2a+1)}+\frac{1}{(2a+\frac{1}{a })(\frac{1}{a^2 }+\frac{1}{a }+1)} \geq \frac{1}{2a^2+1}+\frac{2a^2}{2a^2+1} =1(AM-GM)[/TEX]

 

[thienlong_cuong]

Nhưng làm soa bn tìm được bđt đầu tiên để đánh giá

[TEX]\sqrt{\frac{x^3}{x^3 + 8y^3}} \geq \frac{x^2}{x^2 + 2y^2}(1)[/TEX]

Thử xem xem cái pp tiếp tuyến của lão minhtuyn xem sao !?
Chứ cách đánh giá trên thực sư ko tự nhiên cho lắm ?!

 

[minhtuyb]

Thử xem xem cái pp tiếp tuyến của lão minhtuyn xem sao !?
Chứ cách đánh giá trên thực sư ko tự nhiên cho lắm ?!

Thực ra cái tiếp tuyến thì cùng đường mới phải "thử" thôi
Tìm được cái pt tiếp tuyến tại [TEX]x_0[/TEX] đã dài, còn phải cm [TEX]f(x)\geq ax+b[/TEX] nữa >"<
Dùng xong cái này cũng mệt người ="='
Bài trên có thể dùng được, nhưng cân bằng hệ số hay hơn

P/s: Đây là đề chung KHTN 2011 phải không nhỉ?