[Toán 9] Bất đẳng thức khó

[huynhbachkhoa23]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài toán. Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh:
$$\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge \dfrac{\sqrt[5]{81(a^5+b^5+c^5)}}{2}$$
Anh viethoang cho em đáp án nhé. Bài căn bậc 4 dùng UCT được chứ bài này thì :|

 

[huynhbachkhoa23]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $\sum \dfrac{a^2}{b+c}\ge \sum \dfrac{\left[\sum (b+c-a)^2\right]^2}{\sum (b+c)(b+c-a)^2}$
Chuẩn hóa $a+b+c=1$ thì ta cần chứng minh:
$$f(r)=81(1-2q-6r)^5\left[5(1-q)r+1-5q+5q^2\right]-(3-8q)^10\le 0\\
f'(r)=405(1-2q-6r)^4\left[36(q-1)r+(1-4q)(7q-5)\right]$$
Nếu $1\ge 4q$ thì hiển nhiên $f'(r)\le 0$
Nếu $1\le 4q$ thì áp dụng bất đẳng thức Schur bậc 4 ta được $36(q-1)r+(1-4q)(7q-5)\le (1-3q)(2q-1)(4q-1)\le 0$
Do đó $f'(r)\le 0$ nên $f(r)$ đơn điệu theo $r$. Do đó ta chỉ cần cho $b=c=1$ hoặc $b=0, c=1$ là đủ.
Đến đây xét đạo hàm theo biến $a$ đơn giản.

(VQBC)​

P/s. Không ngờ lại dùng ABC @@