[Toán 9] Bất đẳng thức khó

[011121]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a,b,c >0 chứng minh rằng :

[TEX]\frac{a^{5}}{b^{5}+c^{5}}+\frac{b^{5}}{c^{5}+a^{5}}+\frac{c^{5}}{b^{5}+c^{5}}\geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{b+a}[/TEX]

@hoangtubongdem5 : Tiêu đề ghi [Toán 9] + Tiêu đề bài, bài đăng gõ Latex nhé, lần này mình nhắc nhở, lần sau mình xóa

 

[soicon_boy_9x]

Không mất tính tổng quát giả sử $a \geq b \geq c$

Ta có:

$\dfrac{a^5}{b^5+c^5}-\dfrac{a}{b+c}=\dfrac{ab(a^4-b^4)+ac(a^4-c^4)}{(b^5+c^5)(b+c)}$

Tương tự cộng từng vế ta có:

$VT-VP=ab(a^4-b^4)[\dfrac{1}{(b^5+c^5)(b+c)}-\dfrac{1}{(a^5+c^5)(a+c)}]$

$+ac(a^4-c^4)[\dfrac{1}{(b^5+c^5)(b+c)}-\dfrac{1}{(a^5+b^5)(a+b)}]$

$+bc(b^4-c^4)[\dfrac{1}{(a^5+c^5)(a+c)}-\dfrac{1}{(a^5+b^5)(a+b)}]$

Nhận thấy vì $a \geq b \geq c$ nên $VT \geq VP$ (mỗi ngoặc đều $\geq 0$)

Dấu $"="$ xảy ra $\leftrightarrow a=b=c$