[ Toán 9 ] bất đẳng thức. KHÓ!

[lovely_99_0330]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh với mọi số nguyên dương n, ta có:
$(1+\dfrac{1}{n})^n<3$

 

[leon1096]

Chứng minh với mọi số nguyên dương n, ta có:
$(1+\dfrac{1}{n})^n<3$

với n=1 nên (1+1/1)^1=2
n>1(n=2) thì (1 + 1/2)^/2 = (3/2)^2 = 9/4 > 3
2 < (1 + 1/n)^n < 3 với mọi n ≥ 2.
vậy với mọi n thuộc Z* thì(1+1/n)^n<3

 

[angleofdarkness]

Bài này bạn dùng $p^2$ quy nạp nhé.

Đầu tiên xét n = 1 \Rightarrow BĐT đúng.

Giả sử BĐT đúng vs n = k, tức có ${(1+\dfrac{1}{k})}^k<3.$ @};-

Ta sẽ c/m BĐT cũng đúng vs n = k +1, tức cần ${(1+\dfrac{1}{k+1})}^{k+1}<3.$ (*)

Thật vậy xét VT (*) sau đó đưa về gt quy nạp @};- \Rightarrow đpcm.

 

[forum_]

Cách khác:

Áp dụng phép khai triển nhị thức Newton, ta có:

$(1 + \dfrac{1}{n})^n

= 1 + 1 + \dfrac{1}{2!}.( 1 - \dfrac{1}{n}) + \dfrac{1}{3!}.( 1 - \dfrac{1}{n}).( 1 - \dfrac{2}{n}) + ........+ \dfrac{1}{n!}.( 1 - \dfrac{1}{n}).(1 - \dfrac{2}{n})....( 1 - \dfrac{n -1}{n})

= 2 + a$

với a>0

Mặt khác ta có: a < $\dfrac{1}{2!} + \dfrac{1}{3!} +.........+ \dfrac{1}{n!}$ < $\dfrac{1}{1.2} + \dfrac{1}{2.3} +.......+ \dfrac{1}{(n-1).n} = \dfrac{n}{n+1}$ < 1

\Rightarrow a < 1 \Rightarrow Đpcm

 

[trungkstn@gmail.com]

Sau này e sẽ được học một điều rất hay như sau. Khi n càng tăng thì số hạng tổng quát tăng và tiến dần tới một số gọi là số e = 2.71828