[Toán 9]Bất đẳng thức khó dành cho HSG

[buiducanh142]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho các số dương a,b,c thỏa mãn: a+b+c = 3. Chứng minh rằng
[TEX]\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\geq ab+ac+bc[/TEX]

~~> Chú ý latex

 

[asroma11235]

Bất đẳng thức cần chứng minh, tương đương với:
[TEX]a^2+b^2+c^2+ 2\sqrt{a}+ 2\sqrt{b}+ 2\sqrt{c} \geq a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=(a+b+c)^2=9[/TEX]
Do đó, ta cần chứng minh:
[TEX]a^2+b^2+c^2+ 2\sqrt{a}+ 2\sqrt{b}+ 2\sqrt{c} \geq 9[/TEX]
Ta có:
[TEX]a^2 + 2\sqrt{a} -3a=(\sqrt{a}-1)^2(a+2\sqrt{a}) \geq 0[/TEX]
[TEX] => a^2+ 2\sqrt{a} \geq 3a[/TEX] với mọi [TEX]a \in (0;3)[/TEX]
CMTT: [TEX]b^2 + 2\sqrt{b} \geq 3b[/TEX]
[TEX]c^2+ 2\sqrt{c} \geq 3c[/TEX]
Cộng lại , ta được: [TEX]a^2+b^2+c^2+2(\sqrt{a}+ \sqrt{b}+ \sqrt{c}) \geq 3(a+b+c)=9[/TEX]
[TEX]=> dpcm[/TEX]
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c=1