[toán 9] bất đẳng thức, hpt và pt<img src="http://diendan.hocmai.vn/images/eyeeasy/buttons/DaXN.png"

[princess2000]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho $0 < x,y,z \le 1$. Giải pt

$\dfrac{x}{1+y+zx}+\dfrac{y}{1+z+xy}+\dfrac{z}{1+x+yz}=\dfrac{3}{x+y+z}$

Bài 2: chứng minh $ \sqrt{\dfrac{x+y}{z}}+\sqrt{\dfrac{y+z}{x}}+\sqrt{ \dfrac{z+x}{y}} \ge 3\sqrt{2}$

Bài 3: Giải hệ
$\left\{ \begin{array}{I} x+x^2+x^3+x^4=y+y^2+y^3+y^4 \\ x^2+y^2=1\end{array} \right.$

Bài 4:
a) C/m $x^2+y^2+(\dfrac{1+xy}{x+y})^2 \ge 2$

b) Tìm $MinC=\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-2x+5}
$
c) Giải pt nghiệm nguyên $y(y-1)=x^4+x^2+1$

Ấn sửa bài để xem cách gõ công thức
Xem lại đề bài 1

 

[lp_qt]

Câu 4

c.

$C=\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-2x+5}$

$=\sqrt{x^2+1}+\sqrt{(1-x)^2+4} \ge \sqrt{(x+1-x)^2+(1+2)^2}=\sqrt{10}$

khi $\dfrac{x}{1-x}=\dfrac{1}{2} \Longleftrightarrow x=\dfrac{1}{3}$

 

[hien_vuthithanh]

Bài 2: chứng minh $ \sqrt{\dfrac{x+y}{z}}+\sqrt{\dfrac{y+z}{x}}+\sqrt{ \dfrac{z+x}{y}} \ge 3\sqrt{2}$

Áp dụng AM -GM có :

$ \sqrt{\dfrac{x+y}{z}}+\sqrt{\dfrac{y+z}{x}}+\sqrt{ \dfrac{z+x}{y}} \ge 3\sqrt[6]{\dfrac{(x+y)(y+z)(z+x)}{xyz}}$

$\rightarrow$ Cần c/m $3\sqrt[6]{\dfrac{(x+y)(y+z)(z+x)}{xyz}}\ge 3\sqrt{2}$

$\leftrightarrow \dfrac{(x+y)(y+z)(z+x)}{xyz} \ge 8$

$\leftrightarrow (x+y)(y+z)(z+x) \ge 8xyz$

Ta có : $(x+y)(y+z)(z+x) \ge 2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}=8xyz$


$\rightarrow$ dpcm

 

[hien_vuthithanh]

Bài 4:
a) C/m $x^2+y^2+(\dfrac{1+xy}{x+y})^2 \ge 2$

$x^2+y^2+(\dfrac{1+xy}{x+y})^2=(x+y)^2+\dfrac{(1+xy)^2}{(x+y)^2} -2xy $

$\ge 2\sqrt{ (x+y)^2.\dfrac{(1+xy)^2}{(x+y)^2}}-2xy =2|1+xy| -2xy \ge 2 +2xy-2xy =2$

$\rightarrow$ dpcm

 

[soccan]

Câu hệ
viết lại
$$\left\{\begin{matrix}(x-y)+(x^2-y^2)+(x^3-y^3)+(x^4-y^4)=0\ (1)\\ x^2+y^2=1\ (2)\\ \end{matrix}\right.$$
$(1) \longleftrightarrow (x-y)(2x+2y+xy+2)=0$
vì vậy mà ta sẽ cm $2x+2y+xy+2=0$ chỉ có nghiệm nguyên
đặt $x=\dfrac{m}{n},\ y=\dfrac{p}{q}\ ; (m,n)=1,\ (p,q)=1, n,q \ge 2, m, p \ne 0$ và m,n,p,q nguyên
suy ra $2(\dfrac{m}{n}+\dfrac{p}{q}+1)=\dfrac{-mp}{nq} \longrightarrow mp \vdots mq+pn+nq \longrightarrow m^2 \vdots mn+\dfrac{q}{p}(m^2+n)$
hay $mp \vdots nq$ và $m \vdots n$ trái giả thiết
do đó $m \vdots n$ và $ p \vdots q$ hay đây là pt nghiệm nguyên
$2x+2y+xy+2=0 \longleftrightarrow (2+y)(2+x)=2$ là pt ước số (chú ý nghiệm ngoại lai)
thế vào $(2)$

 

[soccan]

Câu nghiệm nguyên
từ gt ta được $1$ pt tương đương
$4y(y-1)=4x^4+4x^2+4$
$ \longleftrightarrow (2y-2x^2-2)(2y+2x^2)=4$
pt ước số

 

[eye_smile]

1,Do $0 \le x;y;z \le 1$ nên $x^2 \le 1; xy \le y$

\Rightarrow $\dfrac{x}{1+y+xz} \le \dfrac{x}{x^2+xy+xz}=\dfrac{1}{x+y+z}$

Tương tự, đc $VT \le VP$

Dấu = xảy ra khi x=y=z=1