(Toán 9) Bất đẳng thức hình học

[cqtisme]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho tam giác ABC có BC=a,đường cao AH=h,chu vi là 2p.CMR h\leq [tex]\sqrt{p(p-a)}[/tex]

 

[chonhoi110]

Đặt $AC=b , AB=c$

$\Longrightarrow S_{ABC}=\dfrac{1}{2}a.h=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Giả sử $h \le \sqrt{p(p-a)}$ đúng

$\Longleftrightarrow 2S_{ABC} \le a\sqrt{p(p-a)}$

$\Longleftrightarrow 2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \le a \sqrt{p(p-a)}$

$\Longleftrightarrow 2\sqrt{(p-b)(p-c)} \le a$

Áp dụng bđt Cauchy (hay AM-GM gì cũng thế ) )

$ 2\sqrt{(p-b)(p-c)} \le (p-b)+(p-c)=a \Longrightarrow $ Q.E.D

Dấu "=" xảy ra khi $b=c$ hay tam giác $ABC$ cân tại $A$