[toán 9] bất đẳng thức & cực trị

[princess2000]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Cho các số thực a,b,c thỏa mãn -1 \leq a,b,c \leq 2. a+b+c=0. chứng minh ab+bc+ca \geq -3
2) Cho xy khác 0, x+y=1. Tìm [TEX]Max P=\frac{1}{x^3+y^3+xy}[/TEX]
3) cho [TEX]x_i[/TEX] nguyên dương với [TEX]i= \overline{1,2015}[/TEX].
Chứng minh[TEX] (x_1+\frac{1}{x_1})(x_2+\frac{1}{x_2})(x_3+\frac{1}{x_3})...(x_{2015}+\frac{1}{x_{2015}})\geq(x_1+ \frac{1}{x_2})...(x_{2015}+ \frac{1}{x_1})[/TEX]

 

[lp_qt]

Câu 1

$-1 \le a;b;c \le 2$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}(a+1)(b+1)(c+1) \ge 0 & \\ (a-2)(b-2)(c-2) \le 0 &
\end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}abc+(ab+bc+ac)+(a+b+c)+1 \ge 0 & \\ abc +4(a+b+c)-2(ab+bc+ac)-8 \le 0 & \end{matrix}\right.$

\Leftrightarrow $\left\{\begin{matrix}abc+(ab+bc+ac)+1 \ge 0 & \\ -abc + 2(ab+bc+ac)+8 \ge & \end{matrix}\right.$

\Rightarrow $3(ab+bc+ac) +9 \ge 0$

\Leftrightarrow $ab+bc+ac \ge -3$

\Rightarrow đpcm.

 

[hien_vuthithanh]

2) Cho xy khác 0, x+y=1. Tìm Max $P=\dfrac{1}{x^3+y^3+xy}$

Ta có : $x^3+y^3+xy=(x+y)^3-3xy(x+y)+xy=1-3xy+xy=1-2xy$

Lại có: $2xy\le \dfrac{(x+y)^2}{2}=\dfrac{1}{2} \rightarrow 1-2xy \ge 1-\dfrac{1}{2}= \dfrac{1}{2}$

$\rightarrow \dfrac{1}{x^3+y^3+xy} \le \dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}=2$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1. $(a+1)(a-2)\le 0$ nên $a^2\le a+2$. Tương tự rồi cộng lại ta được:
$a^2+b^2+c^2\le a+b+c+6=6$. Do đó $(a+b+c)^2\le 6+2(ab+bc+ca)$ nên $ab+bc+ca\ge -3$